?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 5, заключительная.
ahiin
Начало.
Предыдущая часть.

В предыдущей части мы, внезапно, обнаружили и доказали, что пространства - несепарабельны.
Сегодня, как обещано, будет построен конкретный пример функции , для которой погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю при измельчении разбиения отрезка .

Напоминаю, норма пространства задается выражением:


Сестра, скальпель!

Для начала:
Упражнение (средней сложности): покажите, что если бы для любой функции
погрешность кусочно-линейной аппроксимации стремилась к нулю при , то это означало бы сепарабельность .

Теперь - к обещанному примеру.

Я уже упоминал, что исследование на сепарабельность пространств мне не удалось найти вообще нигде (разумеется, где-то оно таки есть, но где - я не знаю). Так что, нижеследующий пример вынут мною из головы. Если, вдруг (мало ли какие чудеса бывают), он в литературе не упоминается - вы все знаете на кого ссылаться, хехе. Ежели, напротив, кто-нибудь с ним уже сталкивался, подайте, пожалуйста на хлебушекссылочку.

Функцию построим в пространстве .
Схема построения следующая: отрезок делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" единичной высоты. Правую часть снова делим пополам, слева ставим "колпачок" высоты .  Остаток делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" высоты и т.д.

В результате, должна получиться вот такая картинка:
4

Очевидно, что Единицу даст первое слагаемое нормы, двойку - второе, в сумме - тройка.

Давайте покажем, что для кусочно-линейной аппроксимации , построенной на равномерном разбиении отрезка на частей:

Между прочим, этот предел может не существовать вообще.

Полное исследование указанного предела - дело достаточно громоздкое. Мы этим заниматься не будем. Вместо этого, я продемонстрирую вам, как ленивые математики применяют на практике принцип наименьшего действия.

Заметьте, для доказательства гнилой сущности нашей "колпачковой" функции, достаточно, чтобы было неверно следующее утверждение:
Предел существует и равен нулю.

Вот опровержением этого поклепа мы и займемся.

Итак, у нас есть некоторая числовая последовательность . Как известно, если числовая последовательность сходится к некоторому пределу, то к тому же пределу сходится и любая ее подпоследовательность. В качестве такой "любой" подпоследовательности возьмем элементы с индексами и поищем предел последовательности .

Понятное дело, я такую подпоследовательность выбрал не случайно (хе-хе), а для того чтобы границы отрезков разбиения попадали в точки локальных максимумов и минимумов "колпачковой" функции.

В результате, кусочно линейная аппроксимация на разбиениях с индексами будет выглядеть следующим образом:

При :
5

При :
6

Соответственно, при график функции имеет вид.
7

Здесь уже должно быть ясно, куда я клоню.
Очевидно (хотя рекомендую проверить), что:

Отсюда, вуаля, следует, что даже если предел существует, то он равен двум, а вовсе не нулю. Бинго!

При этом, прошу заметить, что если бы мы рассматривали сходимость в пространстве , то в пределе бы получился благополучный ноль. Увы, увы.

Таким образом, для "колпачковая" функции погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю с ростом . Существование таких функций, конечно, прямо следовало из факта несепарабельности пространств . Но теория-теорией, а всегда интересно убедиться на практике.

На этом о пространствах - все.

В отдаленном светлом будущем, во время очередного припадкаприступа вдохновения, планирую рассказать немного о том, как эти пространства применяются в теории уравнений в частных производных, на примере теоремы Шаудера о разрешимости краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.

А вот и нет, в результате поговорилось о модулях непрерывности.

Продолжение.


  • 1
1) вопрос очень интересен, но я на него прямо сейчас ответить не готов. На вскидку могу сказать только, что несепарабельность наступает уже при очень слабых ограничениях на модуль непрерывности. Буду держать в голове, если что попадется в литературе (или кто ссылку подкинет) - напишу.

2) Норма C^{0,p} просто более чувствительный инструмент. Она "различает" не только сами значения функции, но и, в некотором смысле "скорость" ее изменения. Поэтому, кстати, в примере из поста в норме С "хвост" из "колпачков" нормально стремится к нулю, а в норме C^{0,1} - нет. За такое, понятно придется расплачиваться. Очевидно, канал передачи данных, работающий в норме C^{0,p} будет менее устойчив к помехам.

Большое спасибо!
А по поводу 2), есть какая-то оценка сколько нужно epsilon-шариков чтобы покрыть единичную сферу в C^{0,p}?

Я так понимаю, вопрос про единичный шар вокруг некоторой заданной функции?
Официальный ответ (так сказать, для протокола): я не знаю. В литературе не встречал, сам никогда не задумывался.

В порядке "на салфетке на коленке", вроде бы будет достаточно. Но головой (а равно и любой другой частью тела) не поручусь.

Для достаточно маленького epsilon видимо количество таких шаров должно стать равным бесконечности, иначе пространство было бы сепарабельно. (Строим последовательность epsilon=1, 1/2, 1/3,... и приближаемся к каждой точке сколь угодно близко).
Интересно в какой именно момент количество шаров, необходимых для покрытия, перестанет быть конечным. Вполне возможно, что уже для любого epsilon<1.

Ситуация тут не так проста.
Возможность построения конечного покрытия для отдельно взятого конкретного шара вовсе не означает сепарабельности.
В части четвертой, здесь:
http://ahiin.livejournal.com/72679.html
показано, что в существует несчетная система непересекающихся шаров единичного радиуса.

Если для любого сколь угодного малого epsilon=1/m существует конечное покрытие, то множество всех центров всех шаров для всех {m} будет всюду плотным - разве нет?

Да оно-то может и будет, только этого недостаточно для сепарабельности. Нужна еще и счетность. А ее - нет.

А, я понял в чем дело - может быть очень много единичных шаров... Но все равно, в данном случае поскольку все пространство можно покрыть шарами радиуса K=1,2,3,..., и в каждом выбрать всюду плотную систему, то получится все пространство сепарабельным.

Как я уже сказал, множество шаров будет несчетным. В прошлой части это доказывается.

Мне кажется, мы не понимаем друг друга до конца. Вот смотрите, предположим что для любого epsilon>0 существует конечное покрытие единичной сферы шарами радиуса epsilon. Тогда такое покрытие существует также для шара любого радиуса (покрытие единичного шара шариками epsilon раздувается до покрытия шара радиуса K шариками радиуса K*epsilon).
Выберем счетную последовательность epsilon_i=1/i. Обозначим S(i,p) - центры шаров радиуса 1/i, образующие покрытие шара радиуса i, где p - нумерует шары покрытия (для каждого i p пробегает конечное число индексов). Множество {S(i,p)} для всех i,p - всюду плотно, и разумеется счетно.
А, значит, получили противоречие.

Попробую по-другому.
Вы исходите из неявного предположения, что пространство можно накрыть счетной системой шаров, а потом для каждого из них построить не более чем счетное покрытие из "маленьких" шариков.
Это НЕВЕРНО.
В пространстве существуют несчетные системы непрекращающихся шаров сколь угодно большого радиуса. Сколь угодно большого.

Я исхожу из предположения, что пространство С^{0,1} можно покрыть счетной системой шаров S(0,K). Каждый такой шар имеет центр в нуле, а K пробегает все натуральные числа. Это следует просто из того, что у каждого элемента пространства C^{0,1} есть конечная норма.
Я же не утверждаю, что я делаю счетное покрытие шарами одинакового радиуса.

Так. Извиняюся.
Вы правы. Шар будет содержать несчетную систему эпсилон-шариков.
Причем систему эту можно предъявить явно.
Затупил.

Я тоже разобрался. Очень красивая конструкция, спасибо. У меня прорыв наступил в тот момент, когда я понял, что в определении нормы нельзя sup по всему отрезку заменить sup по рациональным точкам отрезка, хотя функция и равномерно-непрерывная (а все равно нельзя)!
Видимо, по первому вопросу получается что для любого монотонного модуля непрерывности пространство получится несепарабельно.

Видимо да.
Как мне кажется, в доказательство существования несчетной системы шаров заданного радиуса нужно, аналогично тому как я здесь (http://ahiin.livejournal.com/72679.html) модуль использовал, применить этот самый модуль непрерывности, который пространство порождает.
Но проверять прямо сейчас я это предположение не готов, ночь-полночь на дворе, да и бронхит никуда не делся, к сожалению.

  • 1