?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 5, заключительная.
ahiin
Начало.
Предыдущая часть.

В предыдущей части мы, внезапно, обнаружили и доказали, что пространства - несепарабельны.
Сегодня, как обещано, будет построен конкретный пример функции , для которой погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю при измельчении разбиения отрезка .

Напоминаю, норма пространства задается выражением:


Сестра, скальпель!

Для начала:
Упражнение (средней сложности): покажите, что если бы для любой функции
погрешность кусочно-линейной аппроксимации стремилась к нулю при , то это означало бы сепарабельность .

Теперь - к обещанному примеру.

Я уже упоминал, что исследование на сепарабельность пространств мне не удалось найти вообще нигде (разумеется, где-то оно таки есть, но где - я не знаю). Так что, нижеследующий пример вынут мною из головы. Если, вдруг (мало ли какие чудеса бывают), он в литературе не упоминается - вы все знаете на кого ссылаться, хехе. Ежели, напротив, кто-нибудь с ним уже сталкивался, подайте, пожалуйста на хлебушекссылочку.

Функцию построим в пространстве .
Схема построения следующая: отрезок делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" единичной высоты. Правую часть снова делим пополам, слева ставим "колпачок" высоты .  Остаток делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" высоты и т.д.

В результате, должна получиться вот такая картинка:
4

Очевидно, что Единицу даст первое слагаемое нормы, двойку - второе, в сумме - тройка.

Давайте покажем, что для кусочно-линейной аппроксимации , построенной на равномерном разбиении отрезка на частей:

Между прочим, этот предел может не существовать вообще.

Полное исследование указанного предела - дело достаточно громоздкое. Мы этим заниматься не будем. Вместо этого, я продемонстрирую вам, как ленивые математики применяют на практике принцип наименьшего действия.

Заметьте, для доказательства гнилой сущности нашей "колпачковой" функции, достаточно, чтобы было неверно следующее утверждение:
Предел существует и равен нулю.

Вот опровержением этого поклепа мы и займемся.

Итак, у нас есть некоторая числовая последовательность . Как известно, если числовая последовательность сходится к некоторому пределу, то к тому же пределу сходится и любая ее подпоследовательность. В качестве такой "любой" подпоследовательности возьмем элементы с индексами и поищем предел последовательности .

Понятное дело, я такую подпоследовательность выбрал не случайно (хе-хе), а для того чтобы границы отрезков разбиения попадали в точки локальных максимумов и минимумов "колпачковой" функции.

В результате, кусочно линейная аппроксимация на разбиениях с индексами будет выглядеть следующим образом:

При :
5

При :
6

Соответственно, при график функции имеет вид.
7

Здесь уже должно быть ясно, куда я клоню.
Очевидно (хотя рекомендую проверить), что:

Отсюда, вуаля, следует, что даже если предел существует, то он равен двум, а вовсе не нулю. Бинго!

При этом, прошу заметить, что если бы мы рассматривали сходимость в пространстве , то в пределе бы получился благополучный ноль. Увы, увы.

Таким образом, для "колпачковая" функции погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю с ростом . Существование таких функций, конечно, прямо следовало из факта несепарабельности пространств . Но теория-теорией, а всегда интересно убедиться на практике.

На этом о пространствах - все.

В отдаленном светлом будущем, во время очередного припадкаприступа вдохновения, планирую рассказать немного о том, как эти пространства применяются в теории уравнений в частных производных, на примере теоремы Шаудера о разрешимости краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.

А вот и нет, в результате поговорилось о модулях непрерывности.

Продолжение.


  • 1
- Сестра, может, в реанимацию?
- Доктор сказал - в морг, значит - в морг!

Увы, да, медицина бессильна.
Соболев отнюдь не от нечего делать свои пространства ввел.

Все-таки причинно-следственная связь между сепарабельностью и сходимостью линейной интерполяции не раскрыта.

Очевидно, в рассматриваемом случае, если бы сходимость имелась для любого элемента пространства - то автоматически получалась бы счетная плотная система.
В прошлый раз показана несепарабельность, здесь - обещанный пример функции, на которой кусочно-линейная аппроксимация расходится.

>Очевидно, в рассматриваемом случае, если бы сходимость имелась для любого элемента пространства - то автоматически получалась бы счетная плотная система.

Не-а, не автоматически. Автоматически получается только континуум элементов пространства с построенной к каждому индивидуальной счетной интерполяционной последовательностью. Там что-то допиливать надо, чтобы пространство ломаных вдруг стало счетным.

Добавил, тем не менее, как упражнение.

Красиво, спасибо. У меня два вопроса как у человека, вполне далекого от этой области (и от теоретической математики в целом), однако интересно.

1) Если рассматривать более общий случай C^{n,w(d)} где w(d) модуль непрерывности, и соответственно условие |f(x1)-f(x2)|<K*w(|x1-x2|), то где именно проходит граница верности всех этих утверждений? 2) Если рассматривать "геометрически" вложение С^0,p в С^0, как вложение линейных пространств, то получается визуально интересная конфигурация: C^0,p всюду плотно в С^0 в метрике C^0, однако в своей внутренней метрике оно приобретает нетипичные свойства. Хочется как-то представить себе это визуально. С точки зрения "информативности" С^0,p несет "мало" информации в C^0, однако приобретает очень много новой информации в C^0,p. В чем заключается эта новая информация? Как ее декодировать? Грубо говоря, предположим что нам надо передать очень много информации по каналу C[0,1] (при передачи возможны небольшие случайные помехи). Если считывать сигнал во внутренней метрике C[0,1], и в ней же чистить сигнал, то получается одна информационная емкость. А если передавать и воспринимать (и чистить от шума) сигнал в метрике С^0,p[0,1], то получается что информационная емкость сигнала резко возрастает. Но в каком месте "геометрически" содержится дополнительная информация?

1) вопрос очень интересен, но я на него прямо сейчас ответить не готов. На вскидку могу сказать только, что несепарабельность наступает уже при очень слабых ограничениях на модуль непрерывности. Буду держать в голове, если что попадется в литературе (или кто ссылку подкинет) - напишу.

2) Норма C^{0,p} просто более чувствительный инструмент. Она "различает" не только сами значения функции, но и, в некотором смысле "скорость" ее изменения. Поэтому, кстати, в примере из поста в норме С "хвост" из "колпачков" нормально стремится к нулю, а в норме C^{0,1} - нет. За такое, понятно придется расплачиваться. Очевидно, канал передачи данных, работающий в норме C^{0,p} будет менее устойчив к помехам.

(Deleted comment)

Re: Несепарабельность С^{0,1}[0,1]

Эээ...
Вот тут, в четвертой части:
http://ahiin.livejournal.com/72679.html
приводится строгое доказательство, с использованием несчетного множества (и безо всяких канторовых лестниц, все проще гораздо).
Здесь я привожу конкретный пример, обещанный в 4-й части.

Re: Несепарабельность С^{0,1}[0,1]

Oops! Это я совсем не в те ворота :)

доказательство несепарабельности пространства Гельдера было проведено в одной из статей Бесова где-то в 70-80х годах. Если найду ссылку, то пришлю. Спасибо за этот цикл постов.

Edited at 2013-05-01 06:43 pm (UTC)

Будьте так любезны! Заранее спасибо.

вроде вот эта статья
О.В. Бесов О некоторых свойствах пространств H^{r1,...,rm}_p .// Известия ВУЗов. Серия Математика.  1. 1960. С. 16--23.

Пи равно четырем :)

Пользователь scienceblogger сослался на вашу запись в записи «Пи равно четырем :)» в контексте: [...] ое дело, на исходной картинке нет и близко. Тут можно проследить некоторую аналогию с попытками [...]

  • 1