Предыдущая часть.
В предыдущей части мы, внезапно, обнаружили и доказали, что пространства
Сегодня, как обещано, будет построен конкретный пример функции
Напоминаю, норма пространства
Сестра, скальпель!
Для начала:
Упражнение (средней сложности): покажите, что если бы для любой функции
погрешность кусочно-линейной аппроксимации 
стремилась к нулю при 
, то это означало бы сепарабельность 
.
Теперь - к обещанному примеру.
Упражнение (средней сложности): покажите, что если бы для любой функции
Теперь - к обещанному примеру.
Я уже упоминал, что исследование на сепарабельность пространств
Функцию построим в пространстве
Схема построения следующая: отрезок делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" единичной высоты. Правую часть снова делим пополам, слева ставим "колпачок" высоты
В результате, должна получиться вот такая картинка:
Очевидно, что
Давайте покажем, что для кусочно-линейной аппроксимации
Между прочим, этот предел может не существовать вообще.
Полное исследование указанного предела - дело достаточно громоздкое. Мы этим заниматься не будем. Вместо этого, я продемонстрирую вам, как ленивые математики применяют на практике принцип наименьшего действия.
Заметьте, для доказательства гнилой сущности нашей "колпачковой" функции, достаточно, чтобы было неверно следующее утверждение:
Предел существует и равен нулю.
Вот опровержением этого поклепа мы и займемся.
Итак, у нас есть некоторая числовая последовательность
Понятное дело, я такую подпоследовательность выбрал не случайно (хе-хе), а для того чтобы границы отрезков разбиения попадали в точки локальных максимумов и минимумов "колпачковой" функции.
В результате, кусочно линейная аппроксимация на разбиениях с индексами
При
При
Соответственно, при
Здесь уже должно быть ясно, куда я клоню.
Очевидно (хотя рекомендую проверить), что:
Отсюда, вуаля, следует, что даже если предел
При этом, прошу заметить, что если бы мы рассматривали сходимость в пространстве
Таким образом, для "колпачковая" функции
На этом о пространствах
А вот и нет, в результате поговорилось о модулях непрерывности.
Продолжение.
- Доктор сказал - в морг, значит - в морг!
Соболев отнюдь не от нечего делать свои пространства ввел.
В прошлый раз показана несепарабельность, здесь - обещанный пример функции, на которой кусочно-линейная аппроксимация расходится.
1) Если рассматривать более общий случай C^{n,w(d)} где w(d) модуль непрерывности, и соответственно условие |f(x1)-f(x2)|<K*w(|x1-x2|), то где именно проходит граница верности всех этих утверждений? 2) Если рассматривать "геометрически" вложение С^0,p в С^0, как вложение линейных пространств, то получается визуально интересная конфигурация: C^0,p всюду плотно в С^0 в метрике C^0, однако в своей внутренней метрике оно приобретает нетипичные свойства. Хочется как-то представить себе это визуально. С точки зрения "информативности" С^0,p несет "мало" информации в C^0, однако приобретает очень много новой информации в C^0,p. В чем заключается эта новая информация? Как ее декодировать? Грубо говоря, предположим что нам надо передать очень много информации по каналу C[0,1] (при передачи возможны небольшие случайные помехи). Если считывать сигнал во внутренней метрике C[0,1], и в ней же чистить сигнал, то получается одна информационная емкость. А если передавать и воспринимать (и чистить от шума) сигнал в метрике С^0,p[0,1], то получается что информационная емкость сигнала резко возрастает. Но в каком месте "геометрически" содержится дополнительная информация?
2) Норма C^{0,p} просто более чувствительный инструмент. Она "различает" не только сами значения функции, но и, в некотором смысле "скорость" ее изменения. Поэтому, кстати, в примере из поста в норме С "хвост" из "колпачков" нормально стремится к нулю, а в норме C^{0,1} - нет. За такое, понятно придется расплачиваться. Очевидно, канал передачи данных, работающий в норме C^{0,p} будет менее устойчив к помехам.
А по поводу 2), есть какая-то оценка сколько нужно epsilon-шариков чтобы покрыть единичную сферу в C^{0,p}?
Re: Несепарабельность С^{0,1}[0,1]
Вот тут, в четвертой части:
http://ahiin.livejournal.com/72679.html
приводится строгое доказательство, с использованием несчетного множества (и безо всяких канторовых лестниц, все проще гораздо).
Здесь я привожу конкретный пример, обещанный в 4-й части.
Re: Несепарабельность С^{0,1}[0,1]
Edited at 2013-05-01 06:43 pm (UTC)
О.В. Бесов О некоторых свойствах пространств H^{r1,...,rm}_p .// Известия ВУЗов. Серия Математика. 1. 1960. С. 16--23.
Пи равно четырем :)