Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 5, заключительная.

Сестра, скальпель!

Для начала:
Упражнение (средней сложности): покажите, что если бы для любой функции погрешность кусочно-линейной аппроксимации стремилась к нулю при , то это означало бы сепарабельность .

Теперь - к обещанному примеру.

Между прочим, этот предел может не существовать вообще.

Полное исследование указанного предела - дело достаточно громоздкое. Мы этим заниматься не будем. Вместо этого, я продемонстрирую вам, как ленивые математики применяют на практике принцип наименьшего действия.

Заметьте, для доказательства гнилой сущности нашей "колпачковой" функции, достаточно, чтобы было неверно следующее утверждение:
Предел существует и равен нулю.

Вот опровержением этого поклепа мы и займемся.

Итак, у нас есть некоторая числовая последовательность . Как известно, если числовая последовательность сходится к некоторому пределу, то к тому же пределу сходится и любая ее подпоследовательность. В качестве такой "любой" подпоследовательности возьмем элементы с индексами и поищем предел последовательности .

Понятное дело, я такую подпоследовательность выбрал не случайно (хе-хе), а для того чтобы границы отрезков разбиения попадали в точки локальных максимумов и минимумов "колпачковой" функции.

В результате, кусочно линейная аппроксимация на разбиениях с индексами будет выглядеть следующим образом:

При :


При :


Соответственно, при график функции имеет вид.


Здесь уже должно быть ясно, куда я клоню.
Очевидно (хотя рекомендую проверить), что:

Отсюда, вуаля, следует, что даже если предел существует, то он равен двум, а вовсе не нулю. Бинго!

При этом, прошу заметить, что если бы мы рассматривали сходимость в пространстве , то в пределе бы получился благополучный ноль. Увы, увы.

Таким образом, для "колпачковая" функции погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю с ростом . Существование таких функций, конечно, прямо следовало из факта несепарабельности пространств . Но теория-теорией, а всегда интересно убедиться на практике.

На этом о пространствах - все.

В отдаленном светлом будущем, во время очередного припадкаприступа вдохновения, планирую рассказать немного о том, как эти пространства применяются в теории уравнений в частных производных, на примере теоремы Шаудера о разрешимости краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.

А вот и нет, в результате поговорилось о модулях непрерывности.

Продолжение.