Предыдущая часть.
В предыдущей части мы, внезапно, обнаружили и доказали, что пространства
Сегодня, как обещано, будет построен конкретный пример функции
Напоминаю, норма пространства
Сестра, скальпель!
Упражнение (средней сложности): покажите, что если бы для любой функции
Теперь - к обещанному примеру.
Я уже упоминал, что исследование на сепарабельность пространств
Функцию построим в пространстве
Схема построения следующая: отрезок делим пополам, на левую часть ставим "колпачок" единичной высоты. Правую часть снова делим пополам, слева ставим "колпачок" высоты
В результате, должна получиться вот такая картинка:

Очевидно, что
Давайте покажем, что для кусочно-линейной аппроксимации
Между прочим, этот предел может не существовать вообще.
Полное исследование указанного предела - дело достаточно громоздкое. Мы этим заниматься не будем. Вместо этого, я продемонстрирую вам, как ленивые математики применяют на практике принцип наименьшего действия.
Заметьте, для доказательства гнилой сущности нашей "колпачковой" функции, достаточно, чтобы было неверно следующее утверждение:
Предел существует и равен нулю.
Вот опровержением этого поклепа мы и займемся.
Итак, у нас есть некоторая числовая последовательность
Понятное дело, я такую подпоследовательность выбрал не случайно (хе-хе), а для того чтобы границы отрезков разбиения попадали в точки локальных максимумов и минимумов "колпачковой" функции.
В результате, кусочно линейная аппроксимация на разбиениях с индексами
При

При

Соответственно, при

Здесь уже должно быть ясно, куда я клоню.
Очевидно (хотя рекомендую проверить), что:
Отсюда, вуаля, следует, что даже если предел
При этом, прошу заметить, что если бы мы рассматривали сходимость в пространстве
Таким образом, для "колпачковая" функции
На этом о пространствах
А вот и нет, в результате поговорилось о модулях непрерывности.
Продолжение.