?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 4.
ahiin
Начало.
Предыдущая часть.

Рассматриваем пространство , оно же , с нормой:

Сегодня закрываем вопрос с сепарабельностью.

Погнали!


Ситуация с кусочно-линейной аппроксимацией кардинально меняется в случае, когда .

Напомню, разбиение отрезка у нас равномерное, на одинаковых частей.
Введем дополнительно:
Посмотрите на картинку, где я нарисовал тот самый ромбик из самой-самой первой части. Как вы, надеюсь, помните, из-за наложенного на функцию условия Липшица, функция , с зафиксированными на границах некоего отрезка (в нашем случае, элемента разбиения) значениями, не может покинуть границы небесно-голубого параллелограмма. Дабы не повторяться, я рекомендую тем, для кого этот факт непрозрачен, пройти сюда, где обсуждаются функции с условием Липшица.



Модули угловых коэффициентов прямых, образующих границы ромба, подчинены неравенству:

(Это непосредственно вытеркает из определения нормы ).

Отсюда, просто из элементарной геометрии, следует максимальная оценка погрешности кусочно-линейной аппроксимации в смысле нормы :
Очень, кстати, удобная оценка, вполне применимая на практике. Еще лучше, если нам известна не только норма целиком, но и вклад второй компоненты (т.е. показатель Липшица). При использовании показателя Липшица вместо нормы данная оценка становится неулучшаемой.
Упражнение (чуть сложнее, чем простое): докажите оценку. Задачка на геометрию, практисски.

Однако, мы таки обсуждаем , а вовсе не .
Напомню:
Благодаря полученной выше оценке, имеем:
Как видите, если для второго слагаемого справа можно было также, как для первого, указать подходящую оценку, или хотя бы показать его стремление к нулю при , то до окончательного доказательства сепарабельности будет рукой подать.

Если бы... Если...

Короче, прекращаю тянуть резину за хвост в долгий ящик. Петух пропел трижды.
Пространство не обладает свойством сепарабельности.
Приплыли.

В тот момент, когда во время подготовки очередного поста, вместо ненапряжного доказательства сепарабельности в результате получилось вот ЭТО - шаблон у меня треснул с пушечным грохотом. Неожиданность, да.

Вообще, свойства пространств и сами они довольно скупо обсуждаются в литературе. А уж вопрос сепарабельности не упоминается вообще ни в одной из книжек, что у меня есть под рукой. Изначально, сепарабельность я хотел рассмотреть чисто для кучи, шоб було. Однако, в результате, это оказалась самой интересной частью работы. Шутка ли, нетривиальное несепарабельное пространство, более того, не искусственный какой случай, любимый лишь специалистами по функциональному анализу, а пространства, которые реально используются, например, в математической физике.

Лемма: если в некотором банаховом пространстве существует несчетное множество , такое, что попарные расстояния между его элементами больше некоторой фиксированной константы , т.е. для любых справедливо:
то пространство - несепарабельно.
Упражнение (средней сложности): докажите лемму. Указание очень спойлерное.
[Указание.]
От противного. Предположим счетное всюду плотное множество в таки есть.  Обозначим его .
Каждый элемент несчетного множества можно окружить шаром радиуса . Множество таких шаров (не пересекающихся), очевидно, несчетно. Покажите, что при выборе достаточно малого , условие плотности множества приводит к тому, что в каждом таком шаре должен быть его представитель. При этом множество шаров несчетно, а значит несчетно и .

Таким образом, чтобы доказать несепарабельность , достаточно построить множество .
Сделаем это, опять, же, на примере .

Искомым является множество функций . Очевидно, оно несчетно, так как несчетно множество .
Почему нам эти функции подходят - ясно из картинки, где я нарисовал две такие функции (синий и зеленый графики) для двух разных параметров, а также модуль их разности (красный график).

3

Упражнение (несложное): покажите, что

Собственно нами доказана в случае следующая:
Теорема: пространство - несепарабельно.


В частности, как я уже говорил, это означает, что в пространстве есть функции, для которых при погрешность кусочно-линейной аппроксимации не стремится к нулю.
Чтобы не давиться всухомятку теорией, в следующий раз мы построим пример такой функции, дабы пошшупать ее своими руками и, таки, убедиться на практике, что - несепрабельно, со всеми вытекающими.

Продолжение.



  • 1
Как много нового я узнал, спасибо!

В данном случае, как в том анекдоте:"А чо я? Я сама офигела!"

:)))) Анекдот в студию, плиз!

Сидит мужик на речке у проруби, на зимней рыбалке. Рядом его собачонка крутится.
Внезапно из проруби выныривает корова в ушанке и говорить:"Мужик, закурить есть?".
Мужик только и смог, что выдавить: "Не курю".
Ну корова нырнула обратно и исчезла.
Мужик смотрит на собачку свою квадратными глазами, а та и говорит:
"А чо я? Я сама офигела!"

  • 1