Ян (ahiin) wrote,
Ян
ahiin

Category:

Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 3.

Начало здесь.
Предыдущая часть здесь.

Напомню, мы занимаемся рассмотрением пространства , оно же , с нормой, задаваемой выражением:

Если, вдруг, возникло недопонимание, что это за буковки такие и что они значат, настоятельно рекомендую освежить в голове предыдущие выпуски. Прошлый выпуск по теме был несколько месяцев назад, так что забыть суть дела немудрено.

В конце предыдущего выпуска я обещал рассказать о кусочно-линейных интерполяциях для функций из  пространства , а также поговорить о таком крайне важном понятии как сепарабельность. Выполняю обещаное.

Тапку в пол!


Для начала, пару слов о полноте. В прошлом выпуске мы долго и мучительно доказывали банаховость пространства . Зачем это было надо - достаточно очевидно: без полноты практически бесполезным становится понятие предела. Я лично от него отказаться не готов. Это же полный полярный лис, когда у тебя в руках последовательность Коши, а ты не знаешь, то ли при предельном преходе получишь что путное, то ли благополучно вылетишь за пределы пространства.

Однако, к сепарабельности.

Сепарабельное пространство - это, в нашем случае, нормированное пространство, содержащее конечное или счётное всюду плотное множество.

Множество называется всюду плотным в нормированном пространстве , если для любого и любого, сколь угодно малого найдется такой , что

Тривиальный пример сепарабельного пространства - множество вещественных чисел , так как оно содержит в себе всюду плотное счетное множество рациональных чисел .

Также, в прошлый раз, я мельком упоминал, что пространство - сепарабельно. Этот факт, вообще говоря, известен математикам со второй половины 19-го века (пусть и без акцента на термин сепарабельность) под названием  "аппроксимационная теорема Вейерштрасса". Доказывать я ее не буду, она есть практически в любом учебнике математического анализа (в т.ч.  в третьем томе Фихтенгольца).

Говоря кратко, сепарабельность пространства - это благость и всеобщее процветание. Отсутствие сепарабельности - мор, глад и казни египетские.

Есть одна тянтеорема...
Теорема: сепарабельность пространства необходима для существования в нем базиса.
Доказательство: напомню, что в базисом (так же, иногда, базисом Шаудера) в банаховом пространстве называется линейно-независимая система функций , такая, что для любой существует представление:
или, что то же самое:
Обратите внимание на 2 момента: во-первых, можно смело считать, что , во-вторых, в силу счетности рациональных чисел множество всех возможных последовательностей при - счетно, как декартово произведение счетного набора счетных множеств. Фразочка получилась, однако.
Тогда получим, что существует такое , что для любого верно:
Отсюда:
В силу того, что плотно в , числа можно выбрать такими, что второе слагаемое будет сколь угодно мало, в частности:
Иными словами, для для любой можно указать сколь угодно близкий элемент счетного множества, а значит банахово пространство - сепарабельно.
Теорема доказана.

К сожалению, для существования базиса Шаудера сепарабельности достаточно лишь в специальном частном случае банаховых пространств, так называемых гильбертовых пространств. Когда-нибудь, в светлом будущем, мы о них будем говорить подробно, так как на самом деле это как раз самые важные пространства и есть.
Тем не менее, обычно, в сепарабельном банаховом пространстве базис таки имеется. Примеры сепарабельных пространств без базиса были построены лишь чуть более 30 лет назад (см., например, контрпример Шанковского). Ну и выглядят эти пространства... соответствующе.

Ежели пространство несепарабельно, то тогда все куда печальнее. Прощай ряды Фурье, и если бы только они! Методам конечных элементов, всяческим кусочно-линейные аппроксимациям и тому подобному сепарабельность тоже отнюдь не лишняя. Нет, я не утверждаю, конечно что прямо совсем ничего сделать нельзя с несепарабельным пространством, но жизнь усложняется неимоверно.

К счастью для нас, математиков, большинство попадающихся на практике пространств сепарабельны.
Обычно, в качестве примера банахова несепарабельного пространства приводят пространство .  Что это такое - можно поглядеть здесь (в самом-самом конце). Особо желающие могут доказать его несепарабельность.
Упражнение (средней сложности, факультативное): покажите несепарабельность .
Прежде чем переходить непосредственно к вопросу сепарабельности , давайте посмотрим, как ведет себя кусочно-линейная аппроксимация на функциях из этого пространства. Разбираться будем с одномерным случаем. Многомерный вариант ничем от одномерного не отличается, однако радует обилием индексов, переменных и т.п. Ежели кому охота - можно проделать многомерные выкладки самостоятельно. Более того, рассматривать будем , так как доказательства для общего случая ничем не отличается. Ну кроме громоздкости.

Итак, возьмем для начала некоторую функцию (то бишь, обычному пространству непрерывных функций). Разобьем отрезок равномерно на кусков. Что такое кусочно-линейная аппроксимация функции на заданном разбиении - совершенно очевидно из нижеследующей картинки:

1

Собственно, способ аппроксимации функции - проще не придумать. Применяется повсеместно. Обозначим такую аппроксимацию . Очевидно, .
Упражнение (простое): докажите утверждение.

Существует сравнительно несложно доказываемая теорема, утверждающая что для любой имеет место при в смысле нормы .
Иными словами

Доказывается это очень легко, просто по определению непрерывности.

Но, вообще-то, одной сходимости для практики маловато. Положим, нам известна норма (или ее оценка сверху). Ну, допустим, мы какое-то уравнение исследовали-исследовали, исследовали-исследовали, и такую оценку из него в итоге выдавили. И что? Какова скорость сходимости аппроксимации? На сколько частей разбивать отрезок, чтобы погрешность кусочно-линейной аппроксимации не превышала заданную? Нет ответа.

Ситуация коренным образом меняется в случае, когда .

Однако об этом в следующий раз.

Анонсирую окончательное решение вопроса сепарабельности .

Продолжение.


Tags: opus, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 12 comments