Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 3.

Тривиальный пример сепарабельного пространства - множество вещественных чисел , так как оно содержит в себе всюду плотное счетное множество рациональных чисел .

Также, в прошлый раз, я мельком упоминал, что пространство - сепарабельно. Этот факт, вообще говоря, известен математикам со второй половины 19-го века (пусть и без акцента на термин сепарабельность) под названием  "аппроксимационная теорема Вейерштрасса". Доказывать я ее не буду, она есть практически в любом учебнике математического анализа (в т.ч.  в третьем томе Фихтенгольца).

Говоря кратко, сепарабельность пространства - это благость и всеобщее процветание. Отсутствие сепарабельности - мор, глад и казни египетские.

Есть одна тянтеорема...
Теорема: сепарабельность пространства необходима для существования в нем базиса.
Доказательство: напомню, что в базисом (так же, иногда, базисом Шаудера) в банаховом пространстве называется линейно-независимая система функций , такая, что для любой существует представление:

или, что то же самое:

Обратите внимание на 2 момента: во-первых, можно смело считать, что , во-вторых, в силу счетности рациональных чисел множество всех возможных последовательностей при - счетно, как декартово произведение счетного набора счетных множеств. Фразочка получилась, однако.

Тогда получим, что существует такое , что для любого верно:

Отсюда:

В силу того, что плотно в , числа можно выбрать такими, что второе слагаемое будет сколь угодно мало, в частности:

Иными словами, для для любой можно указать сколь угодно близкий элемент счетного множества, а значит банахово пространство - сепарабельно.

Теорема доказана.

К сожалению, для существования базиса Шаудера сепарабельности достаточно лишь в специальном частном случае банаховых пространств, так называемых гильбертовых пространств. Когда-нибудь, в светлом будущем, мы о них будем говорить подробно, так как на самом деле это как раз самые важные пространства и есть.
Тем не менее, обычно, в сепарабельном банаховом пространстве базис таки имеется. Примеры сепарабельных пространств без базиса были построены лишь чуть более 30 лет назад (см., например, контрпример Шанковского). Ну и выглядят эти пространства... соответствующе.

Ежели пространство несепарабельно, то тогда все куда печальнее. Прощай ряды Фурье, и если бы только они! Методам конечных элементов, всяческим кусочно-линейные аппроксимациям и тому подобному сепарабельность тоже отнюдь не лишняя. Нет, я не утверждаю, конечно что прямо совсем ничего сделать нельзя с несепарабельным пространством, но жизнь усложняется неимоверно.

К счастью для нас, математиков, большинство попадающихся на практике пространств сепарабельны.
Обычно, в качестве примера банахова несепарабельного пространства приводят пространство .  Что это такое - можно поглядеть здесь (в самом-самом конце). Особо желающие могут доказать его несепарабельность.
Упражнение (средней сложности, факультативное): покажите несепарабельность .