Предыдущая часть здесь.
Напомню, мы занимаемся рассмотрением пространства
, оно же 
, с нормой, задаваемой выражением:
Если, вдруг, возникло недопонимание, что это за буковки такие и что они значат, настоятельно рекомендую освежить в голове предыдущие выпуски. Прошлый выпуск по теме был несколько месяцев назад, так что забыть суть дела немудрено.
В конце предыдущего выпуска я обещал рассказать о кусочно-линейных интерполяциях для функций из пространства
, а также поговорить о таком крайне важном понятии как сепарабельность. Выполняю обещаное.Тапку в пол!
Для начала, пару слов о полноте. В прошлом выпуске мы долго и мучительно доказывали банаховость пространства
. Зачем это было надо - достаточно очевидно: без полноты практически бесполезным становится понятие предела. Я лично от него отказаться не готов. Это же полный полярный лис, когда у тебя в руках последовательность Коши, а ты не знаешь, то ли при предельном преходе получишь что путное, то ли благополучно вылетишь за пределы пространства.Однако, к сепарабельности.
Сепарабельное пространство - это, в нашем случае, нормированное пространство, содержащее конечное или счётное всюду плотное множество.
Множество
Тривиальный пример сепарабельного пространства - множество вещественных чисел
Также, в прошлый раз, я мельком упоминал, что пространство
Говоря кратко, сепарабельность пространства - это благость и всеобщее процветание. Отсутствие сепарабельности - мор, глад и казни египетские.
Есть одна
Теорема: сепарабельность пространства необходима для существования в нем базиса.
Доказательство: напомню, что в базисом (так же, иногда, базисом Шаудера) в банаховом пространстве
или, что то же самое:
Обратите внимание на 2 момента: во-первых, можно смело считать, что 
, во-вторых, в силу счетности рациональных чисел 
множество всех возможных последовательностей 
при 
- счетно, как декартово произведение счетного набора счетных множеств. Фразочка получилась, однако.
Тогда получим, что существует такое 
, что для любого 
верно:
Отсюда:
В силу того, что плотно в 
, числа 
можно выбрать такими, что второе слагаемое будет сколь угодно мало, в частности:
Иными словами, для для любой 
можно указать сколь угодно близкий элемент счетного множества, а значит банахово пространство 
- сепарабельно.
Теорема доказана.
К сожалению, для существования базиса Шаудера сепарабельности достаточно лишь в специальном частном случае банаховых пространств, так называемых гильбертовых пространств. Когда-нибудь, в светлом будущем, мы о них будем говорить подробно, так как на самом деле это как раз самые важные пространства и есть.
Тем не менее, обычно, в сепарабельном банаховом пространстве базис таки имеется. Примеры сепарабельных пространств без базиса были построены лишь чуть более 30 лет назад (см., например, контрпример Шанковского). Ну и выглядят эти пространства... соответствующе.
Ежели пространство несепарабельно, то тогда все куда печальнее. Прощай ряды Фурье, и если бы только они! Методам конечных элементов, всяческим кусочно-линейные аппроксимациям и тому подобному сепарабельность тоже отнюдь не лишняя. Нет, я не утверждаю, конечно что прямо совсем ничего сделать нельзя с несепарабельным пространством, но жизнь усложняется неимоверно.
К счастью для нас, математиков, большинство попадающихся на практике пространств сепарабельны.
Обычно, в качестве примера банахова несепарабельного пространства приводят пространство
. Что это такое - можно поглядеть здесь (в самом-самом конце). Особо желающие могут доказать его несепарабельность.
Упражнение (средней сложности, факультативное): покажите несепарабельность.
Прежде чем переходить непосредственно к вопросу сепарабельности К сожалению, для существования базиса Шаудера сепарабельности достаточно лишь в специальном частном случае банаховых пространств, так называемых гильбертовых пространств. Когда-нибудь, в светлом будущем, мы о них будем говорить подробно, так как на самом деле это как раз самые важные пространства и есть.
Тем не менее, обычно, в сепарабельном банаховом пространстве базис таки имеется. Примеры сепарабельных пространств без базиса были построены лишь чуть более 30 лет назад (см., например, контрпример Шанковского). Ну и выглядят эти пространства... соответствующе.
Ежели пространство несепарабельно, то тогда все куда печальнее. Прощай ряды Фурье, и если бы только они! Методам конечных элементов, всяческим кусочно-линейные аппроксимациям и тому подобному сепарабельность тоже отнюдь не лишняя. Нет, я не утверждаю, конечно что прямо совсем ничего сделать нельзя с несепарабельным пространством, но жизнь усложняется неимоверно.
К счастью для нас, математиков, большинство попадающихся на практике пространств сепарабельны.
Обычно, в качестве примера банахова несепарабельного пространства приводят пространство
Упражнение (средней сложности, факультативное): покажите несепарабельность
, давайте посмотрим, как ведет себя кусочно-линейная аппроксимация на функциях из этого пространства. Разбираться будем с одномерным случаем. Многомерный вариант ничем от одномерного не отличается, однако радует обилием индексов, переменных и т.п. Ежели кому охота - можно проделать многомерные выкладки самостоятельно. Более того, рассматривать будем Итак, возьмем для начала некоторую функцию
Собственно, способ аппроксимации функции - проще не придумать. Применяется повсеместно. Обозначим такую аппроксимацию
Упражнение (простое): докажите утверждение.
Существует сравнительно несложно доказываемая теорема, утверждающая что для любой
Иными словами
Доказывается это очень легко, просто по определению непрерывности.
Но, вообще-то, одной сходимости для практики маловато. Положим, нам известна норма
Ситуация коренным образом меняется в случае, когда
Однако об этом в следующий раз.
Анонсирую окончательное решение вопроса сепарабельности
Продолжение.
