Ян (ahiin) wrote,
Ян
ahiin

Category:

О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч.1.

После публикации поста "О планете Нибиру" отдельные граждане выразили пожелание узнать поподробнее, что и как считал Урбан Леверье сотоварищи, охотясь за неизвестной тогда планетой Нептун.



Сначала мне показалось, что можно по-быстрому накидать четыре абзаца вместо одного в старом посте, но фокус не удался. Тема распухла настолько, что пришлось делить на две части.
Делать - так по-большому!

Сегодня, в первой части, я расскажу о математическом методе, которым пользовался Леверье в своих расчетах. Ну, расскажу - это громко сказано. Обрисую в общих чертах - так точнее. Тем не менее, с практическим примером.


Так вот, Леверье открыл Нептун "на кончике пера" используя так называемую теорию возмущений. Она, вообще, очень много где применяется, в частности, и в особенности, в квантовой механике.

Идея заключается в следующем:
Допустим, мы исследуем некоторый физический процесс, описываемый, скажем, уравнением
Сейчас совершенно неважно, что такое - это может быть функция, дифференциальный оператор, функционал - что угодно (я и еще много других страшных слов знаю, ага).
Пусть у нас есть точное решение некоторого упрощенного уравнения (которое "легко" решается), но при этом "близкого" к нашему исходному.
Обозначим его его решение -

Иногда оказывается возможным представить решение сложного уравнения, как "возмущение" простого, в виде суммы по степеням "малого" параметра (параметра возмущения):



преобразовывается  к виду ,  так, что .

Понятно, что если приравнять малый параметр к нулю, то просто получится "невозмущенное" уравнение.
Обычно (хотя и далеко не всегда), для получения таких "возмущенных" представлений используются разные сильные колдунства, по типу рядов Тейлора.

Для применимости теории возмущений "малость" параметра крайне важна, и даже критична.  Когда он реально маленький, то можно сделать резкий финт ушами и громко заявить: вклад степеней параметра выше первой ничтожно мал, мы их выкидываем (кстати, предлагаю желающим подумать: а, собственно, почему?), а наше "возмущенное" решение теперь имеет куда более удобоваримый вид:

В таком случае с уравнением обычно бороться куда проще.
Немаловажно, к тому же, что описанный шулерский прием можно применять последовательно несколько раз, принимая найденное "возмущенное" решение за новое "простое".

Однако, все вышесказанное - это пока разговоры в пользу бедных. Пора переходить к реальным делам.
В качестве практического примера (о-очень простого), я научу вас одному из способов вычисления арифметического квадратного корня без калькулятора. Не планетарная орбита, конечно, приходится быть скромнее.
(Ну, без фанатизма и мазохизма все же, пусть калькулятор будет под рукой. Просто пользоваться будем только четырьмя арифметическими действиями, которые, в принципе, можно выполнить на бумаге в столбик. Тру-реконструкторы, понятно, руки после такого не подадут.)

Очевидно, задача нахождения   эквивалентна нахождению положительного решения уравнения
Вычислим для примера ли, что тоже самое, решим уравнение

Так как число 8 близко к 9, а корень из него нам (я надеюсь) известен, то в качестве "невозмущенного" уравнения возьмем
Имеем:
Или:
Отбрасываем член высшего порядка малости , получаем:
Отсюда:
Таким образом, приближенно:
Сравните с точным значением:
Между прочим, 3 верных значащих цифры, а начинали-то с одной!

Нанести, смыть, повторить...
Повторим трюк еще раз:

Можете поверить мне на слово, а лучше проверьте, что новое приближение равно:

Сравните с точным значением:
Теперь верных значащих цифр уже 5! Вполне достаточно, между прочим, для большинства практических приложений.

В следующей части мы обсудим, как Леверье воспользовался теорией возмущений для поисков планеты Нептун. 
Продолжение.


PS. Тилацин ни в чем не виноват, это просто одна из первых картинок, которые выдает Google по запросу "Леверье охотится на планету Нептун".
[Честно-честно!]
Thylacine


Tags: opus, астрономия, математика, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 12 comments