?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Новая задача
ahiin
Вдоль горизонтального стержня метровой длины скользят без трения в разных направлениях нанизанные на него N одинаковых маленьких бусинок.

beads

При столкновениях бусинки испытывают абсолютно упругий удар.

Если бусинка доходит до конца стержня, она с него соскальзывает и больше во взаимодействиях не участвует.

Начальные положения бусинок равномерно случайны, начальное направления движения (вправо или влево) равновероятно
Размером бусинок пренебречь.

Внимание, вопросы:

1. Считая, что скорости у всех бусинок равны по модулю 1 м/с, найдите
a) среднее время (матожидание),
б) максимально возможное время,
по прошествии которого на стержне не останется ни одной бусины.

2. Рассмотрите случай, когда модули скоростeй распределены с некоторой плотностью вероятности
При каких условиях среднее время очищения стержня останется конечным?

Ответы скрываю до пятницы.
Решение.


  • 1
На первый вопрос попробую ответить.

Главная идея: если две соседних бусины двигаются в одном направлении с одинаковой скоростью 1 м/с, то они так никогда и не встретятся. Удар происходит, когда они двигаются навстречу друг другу. Но после удара каждый поменяет направление на противоположное, и "издалека" нам может показаться, что никакого столкновения и не было, бусины "прошли насквозь", каждый сохранив свою скорость. Поскольку мы бусины никак не помечаем, нам не важно, когда наружу выйдет одна особенная бусина, то можем с тем же успехом считать, будто бы столкновений и вообще нет, все бусины двигаются независимо!

Для одной бусины плотность распределения времени соскальзывания определяется функцией f1(x) = 1, для 0 ≤ x ≤ 1 и ноль для других значений x. То же будет верно для всех плотностей распределения и в данной задаче (в вопросе 1), а все функции распределения будут обращаться в ноль при x < 0 и в единицу при x > 1.

Распределение для одной бусины: F1(x) = x = p[ζ < x]

Мы вводим случайную величину η = max(ζ1, ζ2, ...ζN). ζn - время, за которое вываливается n-я бусина, они независимы друг от друга. η будет временем, за которое на стержне не останется ни одной из них.

Можно записать функцию распределения для η:
Fη(x) = p[η < x] = p[ζ1 < x, ζ2 < x, ... ζN < x] = p[ζ1 < x]p[ζ2 < x]...p[ζN < x] = F1(x)N=xN,

поскольку независимые вероятности переможнаются.
Максимально возможное время, очевидно, равно единице, это произойдёт, если одна бусина разместится у самого начала стержня и пройдет его целиком. Чтобы найти среднее, посчитаем плотность распределения для η:

fη(x) = NxN-1,



Это и будет среднее время, по прошествии которого не останется ни одной бусины. Примитивные частные случаи: при N=1 это произойдет в среднем через 0,5 секунды, что вполне понятно. При N стремящемся к бесконечности получим 1 секунду, т.к всё выше вероятность, что найдётся одна сволочь на самом краю, идущая не в ту сторону!

Ответы:
а) N/(N+1)
б) 1

Edited at 2018-04-02 01:19 pm (UTC)

  • 1