?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Новая задача
ahiin
Вдоль горизонтального стержня метровой длины скользят без трения в разных направлениях нанизанные на него N одинаковых маленьких бусинок.

beads

При столкновениях бусинки испытывают абсолютно упругий удар.

Если бусинка доходит до конца стержня, она с него соскальзывает и больше во взаимодействиях не участвует.

Начальные положения бусинок равномерно случайны, начальное направления движения (вправо или влево) равновероятно
Размером бусинок пренебречь.

Внимание, вопросы:

1. Считая, что скорости у всех бусинок равны по модулю 1 м/с, найдите
a) среднее время (матожидание),
б) максимально возможное время,
по прошествии которого на стержне не останется ни одной бусины.

2. Рассмотрите случай, когда модули скоростeй распределены с некоторой плотностью вероятности
При каких условиях среднее время очищения стержня останется конечным?

Ответы скрываю до пятницы.
Решение.

  • 1

Но ведь... Если все бусины одинаковы, размерами бусин можно пренебречь,, а столкновения абсолютно упругие - значит "столкновения" в условии только чтобы запутать :) на деле разницы между столкновениями и "бусины проходят сквозь друг друга" нет )))


Я уже решил задачу для случая N=0. Для продолжения исследований мне потребуется дополнительное финансирование.

Я круче - я решил для N=1, так что финансирование уйдет мне. :)

Но я то - раньше! :)

На первый вопрос попробую ответить.

Главная идея: если две соседних бусины двигаются в одном направлении с одинаковой скоростью 1 м/с, то они так никогда и не встретятся. Удар происходит, когда они двигаются навстречу друг другу. Но после удара каждый поменяет направление на противоположное, и "издалека" нам может показаться, что никакого столкновения и не было, бусины "прошли насквозь", каждый сохранив свою скорость. Поскольку мы бусины никак не помечаем, нам не важно, когда наружу выйдет одна особенная бусина, то можем с тем же успехом считать, будто бы столкновений и вообще нет, все бусины двигаются независимо!

Для одной бусины плотность распределения времени соскальзывания определяется функцией f1(x) = 1, для 0 ≤ x ≤ 1 и ноль для других значений x. То же будет верно для всех плотностей распределения и в данной задаче (в вопросе 1), а все функции распределения будут обращаться в ноль при x < 0 и в единицу при x > 1.

Распределение для одной бусины: F1(x) = x = p[ζ < x]

Мы вводим случайную величину η = max(ζ1, ζ2, ...ζN). ζn - время, за которое вываливается n-я бусина, они независимы друг от друга. η будет временем, за которое на стержне не останется ни одной из них.

Можно записать функцию распределения для η:
Fη(x) = p[η < x] = p[ζ1 < x, ζ2 < x, ... ζN < x] = p[ζ1 < x]p[ζ2 < x]...p[ζN < x] = F1(x)N=xN,

поскольку независимые вероятности переможнаются.
Максимально возможное время, очевидно, равно единице, это произойдёт, если одна бусина разместится у самого начала стержня и пройдет его целиком. Чтобы найти среднее, посчитаем плотность распределения для η:

fη(x) = NxN-1,



Это и будет среднее время, по прошествии которого не останется ни одной бусины. Примитивные частные случаи: при N=1 это произойдет в среднем через 0,5 секунды, что вполне понятно. При N стремящемся к бесконечности получим 1 секунду, т.к всё выше вероятность, что найдётся одна сволочь на самом краю, идущая не в ту сторону!

Ответы:
а) N/(N+1)
б) 1

Edited at 2018-04-02 01:19 pm (UTC)

Тут главное понять, где нас пытаются обмануть :)
В описанных условиях все вот эти столкновения - это отвлекающий маневр. С точки зрения количества бус на стержне можно просто считать, что бусы не сталкиваются, а проходят друг сквозь друга.
Соответственно:
1.а - 0,5с
1.б - 1с

По второму вопросу. Как мы знаем из физики, при центральном упругом ударе (а здесь именно такой - стержень не даст бусинам удариться как-то иначе) и одинаковой массе объектов они просто-напросто обменяются скоростями, поэтому логика остаётся прежней. Мы делаем вид, будто бусины прошли насквозь, и рассматриваем каждую из них независимо.

Мало того, нам достаточно разобраться с одной бусиной - если у одной бусины будет бесконечное среднее время соскальзывания - то и для очищения N бусин - тоже. И наоборот: бусины же одинаковые, если каждая имеет конечное среднее время соскальзывания, бесконечности взяться неоткуда.

Среднее время соскальзывания одной бусины составит


Если интеграл справа существует, то время очищения будет конечным.

В частности, должно быть p(0) = 0. По логике, именно поведение в "нуле" определяет всё. Является ли это условие достаточным - надо подумать... Про гладкость (и даже непрерывность) плотности вероятности ничего не говорится, там вполне может какая-нибудь дельта-функция окопаться :)

Edited at 2018-04-02 03:07 pm (UTC)

1
а) 2/(n+1)
б) 1


2 Всегда

Прикольная задача :).

Главная идея решения это то что если бусинки идентичны то упругие соударения не отличаются от ситуации когда бусинки друг друга не замечают и проходят сквозь друг дружку. Допустим две бусинки сближаются со скоростями в1 (слева) и в2 (справа), после соударения бусинка которя слева движется со скоростью в2 а та которая справа со скоростью в1. Разница между двумя ситуациями что это в них разны бусинки движутся налево (например), но в данной задаче нам все равно какая из них куда движется ;), так как мы интересуемся только тем когда все бусинки покидают стержень а не когда некая отдельная делает это.

Учитывая это, проблема упрощается до одной бусинки. Легко посчитать (это также очевидно интуитивно) что среднее время равно 1/2 а максимальное 1.

Для случая когда скорости распределены по некой плотности, среднее (по скоростям) время для того что бусинка находящаяся в x покинула стержень равно 1/2 \int_0^\infty p(v)/v dv. Откуда следует нужное условие:

\int_0^\infty p(v)/v dv < \infty

Update: Как обратил мое внимани хозяин журнала, в решении выше есть ошибка в 1)а) и дырка в 2). Вот коррекция/заделывание:

Предположим что у нас а леводвижущихся бусинок и b праводвижущихся. Пусть самая правая из "левых" (движушихся налево) находится в х а самая правая из "левых" в y. Усредняя по оставшимся бусинкам получаем что среднее время когда стержень очистится равно усреднению по х и y:

ab x^{a-1} (1-y)^{b-1} max (x , 1-y)

Теперь усредняя по х и y, получаем (если я не налажал) n/n+1. Это не зависит от а, так что усредняя по а получаем конечный ответ n/n+1.

Насчет 2, пусть t_1, ..., t_n времена когда бусинки покидют стержень. Тогда у нас есть неравенства

t_i < max (t_1, ..., t_n) < t_1 + ... + t_n

Если t это среднее время когда одна бусинка покидает стержень а T среднее время когда очищается весь стержень то усредняя неравенства получаем

t < T < n t

t дана тем интегралом что я привел.

Edited at 2018-04-03 09:06 am (UTC)

По первой задаче.
При указанных условиях, столкновение бусинок эквивалентно их беспрепятственному "сквозному" прохождению друг сквозь друга, т. е. задача сводится к независимому рассмотрению одной бусинки.
Соответственно :
среднее время - 0.5 сек
максимальное время - 1 сек

По второй задаче.
Время очищения будет конечно, если в начальный момент времени нет ни одной бусины с нулевой начальной скоростью. Что автоматом выполнено, если плотность вероятности p(v) конечна по v (нет никаких дельта - функций).

я пошел в сторону распределения расстояния между двумя соседними точками. Или, что то же самое, распределение положения крайней левой точки.

Похоже, что получается функция распределения F(x) = 1 - (1 - x)^n и, соответственно, плотность f(x) = n * (1 - x)^(n-1).
Дальше можно посчитать, что среднее расстояние между соседними точками равно 1 / (n + 1).

Дальше, поколупавшись немного с ручкой и бумагой, пришел к расчету, что:
1а) 0.5 сек
1б) 1 сек

На окончательное додумывание 1 и на 2 вообще времени не оказалось :-(


P.S. Надо учиться формулы в ЖЖ вставлять. У тебя же где-то было про это?

Здравствуйте! Ваша запись попала в топ-25 популярных записей LiveJournal северного региона. Подробнее о рейтинге читайте в Справке.

  • 1