Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Еще задача
ahiin
В этот раз совсем простая.

Найдите из уравнения:



Здесь — целая часть числа то есть наибольшее целое число, не превышающее

Ответы скрываются до пятницы.

Решение.

  • 1
\int_1^{n+1} ln[x]dx = \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} ln[x] dx = \sum_{k=1}^n ln(k) = ln(n!)

Откуда следует что n = 2018.

Интеграл - по сути сумма, так как функция ступенчатая. Сумма логарифмов от 1 до n, или ln(n!). Экспонента от нее и будет n!

Отсюда, n=2018.

n = 2018
В первом варианте постановки задачи получается, что e^2018! = n! и так как левая часть равенства целым быть не может (т.к. состоит из произведения нерациональных e), то ответа нет.

Решение - интеграл = площадь под графиком, график - этакая лесенка-чудесенка, так как ширина ступенек лесенки = 1, интеграл вырождается в сумму логарифмов ln(1)+ln(2)+...+ln(n) = ln(n!), и e в степени интеграл как раз получается = n!

Совсем просто. 2018.

Офф-топ: Янек, так где твои опечатки?

Ну нифига себе Влад глава мафии!

Сначала я ОФИГЕЛ

Пардон за мой французский.
Но потом понял, что не так страшен пример, как выглядит.

1. Сначала посмотрим на степень:
воспользовавшись геометрической интерпретацией интеграла это будет площадь "лесенки" или сумма площадей n прямоугольников:
ln(1) + ln(2) + ... + ln(n).

2. Перейдём к показателю:
e^(ln(1) + ... ln(n)) = 1*2*...*n = n!.

Ответ: n = 2018.


ПС
Насколько содержательно можно пользоваться геометрической интерпретацией понятия не имеют.

походу, мне, хрычу, только совсем простое и решать :)
если i целое, то
int {i, i+1} ln( [i] ) = ln(i)
т.е. для интервала {1..2} вклад в сумму = 1, для интервала {2..3} вклад в сумму = 2, и т.д.: ln(1) + ln(2) + ln(3)... = ln(1*2*3...) = ln( n! ), далее e(ln(n!)) = n! = 2018!, n = 2018

  • 1
?

Log in

No account? Create an account