Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Новая задачка
ahiin
Давненько задачек не было. Исправляюсь.

Докажите, что система уравнений



где , т.е. целые, а — натуральное и , имеет только нулевое решение


Задачка не сногсшибательно сложная, сразу предупреждаю.

Ответы скринятся до пятницы.

Решение.

UPD. без ограничений.

  • 1

; D J"^\-&.hN:RZ}`X1,LiP-Q}-Zޚp6hid

1. Переносим всю правую часть в лево.
Тогда [A-B] x [X] = [0], где
- [A] - матрица коэф-ов aij
- [B] - диагональная матрица из коэф-ов 1\p
- [0] -- нулевая матрица

Тогда у этого уравнения могут быть решения ровно 2х видов:

(1) [X] == 0 // просто приводим матрицу к "ступенчатому" виду методом Гаусса
(2) [X] -- любое (матрица [A-B] вырожденная (или какой там термин) матрица).

2. Рассмотрим матрицу [A-B].
В ней на главной диагонали находятся рациональные числа вида: (a[i,i]*p - 1)/p -- рациональные числа в канонической форме не являющиеся целыми (p > 1).

Тогда матрица не вырожденная, т.е. не существует такой линейной комбинации строк (с целыми коэф-ми), что c1*A[1] + c2*A[2]+ ... + Cn*A[n] = 0.
(NOTE: я не смог доказать что решения нет в иррациональных числах, но в рациональных его точно нет).
Предположим противно, что решение в рациональных числах есть (такой набор c1, c2, c3...cn) => оно есть в целых числах домножив на знаменатели (d1, d2, d3...dn) => оно есть в целых числах с НОД=1, поделив на НОД(d1..dn) -- такой набор (e1, e2,..en), что они целые и НОД(e1..en)=1.
Но:
e1 делится на p -- иначе при сумме целых с (a[i,i]*p-1)/p никак не получить 0
e2 делистя на p
...
en делится на p
Следовательно наше предположение не верно => набора c1,c2...cn в рациональных числах нет и матрица не вырожденная.

3. Но для невырожденной матрицы существует ровно одно решение методом Гаусса (док-во заняло у меня 2 страницы, я приводил матрицу к "ступенчато-единичному" виду, т.е. ступенчатая матрица с 1й на главной диагонали для определённости).

Update:
*) В пункте 2 среди коэф-ов c1, c2...cn бутед минимум 2 ненулевых (поэтому можно использовать НОД).
2 ненулевых будет по построению:
A[i] = b1*A[1] + b2*A[2]...+bn*A[n].
ненулевым будет сi, и также минимум один из остальных коэф-ов, поскольку A[i,i] != 0 => хотя бы один из коэф-ов справа также ненулевой.
**) В пункте "3" своего док-ва к сожалению нашёл ошибку.
Поэтому просто сошлюсь (по памяти): если матрица коэф-ов невырожденная (т.е. ни одна её строка не является линейной комбинацией других строк), у системы линейных уравнений ровно 1 решение.


ПС
Вот токое вот доказательство.
Вероятно для того, чтобы доказать, что решения (c1...cn) нет и в иррациональных числах надо рассмотреть транспонированную матрицу, убедиться, что она получается из исходной только операциями + - * / => иррациональных коэф-ов там появиться не должно.
Но это будет уже не честно, т.к. надо лезть в гугл.

Вот такое вот решение на 1/2



Edited at 2018-03-14 08:42 am (UTC)

Re: Доказал наполовину.. Док-во окончательное (гуглить н

Ниже Ваш комментарий на мой комментарий что-то всё ещё скрыт.

Рациональные решения исключаются от противного теорией чисел (основную теорему арифметики в школе вроде бы проходят). (Исключаем нетривиальные целые решения от противного делимостью на произвольно большую степень какого-нибудь простого делителя p; рациональное решение от домножения на знаменатели становится целым.)

Сложно можно объяснить и обычное (делимость определителя) решение школьникам без слова "матрица" (подстановками и преобразованиями), но я конечно имел в виду не такое "жульническое" решение.

Так что задача, наверное, хороша для пропаганды определителей и линейной алгебры (которую традиционно не принято преподавать школьникам в том числе на мат. кружках).

Re: Доказал наполовину.. Док-во окончательное (гуглить н

Прозевал, расскиринивая. Исправлено.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account