?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Формула Эйлера, том II
ahiin
Завершаем обсуждение формулы Эйлера



Продолжая рассуждения предыдущей части, в итоге получаем степенной ряд (он же ряд Маклорена, он же ряд Тейлора) для экспоненты
который прекрасно сходится и ничуть не страдает, если вещественную переменную х заменить в нем на комплексную z:
Вообще, по нынешним временам, именно этот ряд нередко берут как определение экспоненты, а ее остальные свойства из него выводятся. Например, то, что при дифференцировании этот ряд переходит сам в себя, достаточно очевидно, по-моему.

Обратите внимание, насколько простая идея стоит за кулисами ряда Тейлора. Если положить
То автоматически
благодаря тому, что слева от k-го члена слагаемые обнулятся дифференцированием, а справа за счет ненулевой степени разности. И вуаля:
Но да, нюанс. Это все конечно весело и приятно, но сходимость полученных рядов следует исследовать отдельно, тут целое поле граблей, по которым математики 18 века вдоволь находились. И здесь как раз вступают в бой все те признаки и свойства сходимости, почленной дифференцируемости и т.п. из курса матанализа. Но мы этим здесь заниматься не будем, а будем верить мне на слово.

Еще одно замечание по дороге. Если мы определяем экспоненту в виде ряда, то совершенно необязательно в этот ряд подставлять числа. Если для некоторых сущностей определены операции сложения, умножения между собой и умножения на число, а так же осмысленно понятие предела, то есть задана банахова алгебра, то ряд для экспоненты имеет вполне себе внятный смысл. Например, можно взять экспоненту от квадратной матрицы. А то и еще чего почище учудить. Но это уже другая история.

Возвращаясь к формуле Эйлера, я уже без вывода, прямо запишу:


И, чтоб упростить вам восприятие:
Ряды у нас хорошие, складывать их можно как угодно. И на данном этапе формула
представляется совершенно очевидной. Видимо Эйлер именно так к ней и пришел: играясь с рядами Маклорена.

Если пойти еще немгого дальше, то вообще окажется, что синус и косинус удобнее определить следующим образом:
а дальнейшие нужные нам свойства тригонометрических функций доказать.

Кстати, обратите внимание, что выражение
имеет период два пи вдоль мнимой оси. Так что, помимо известных свойств, у экспоненты появились и некоторые новые. Представить заранее, что экспонента станет периодической функцией, было бы (наверное) довольно сложно.

Напоследок скажу, что хотя формула Муавра уже была известна к моменту открытия Эйлера,  возможность представить любое комплексное число в виде открыла совершенно новые, невиданные возможности. В качестве простого и очень примитивного примера, чтобы не быть голословным, напомню, что именно на этом представлении базируются всем известные методы расчета линейных цепей переменного тока. Есть и куда более интересные применения, но о них как-нибудь в другой раз.

  • 1
Спасибо, было интересно

Класс!

> целое поле граблей, по которым математики 18 века вдоволь находились

Можно даже сказать, нагулялись, так еще прикольнее:)))

> То автоматически

Там после этого стоит пустое место от картинки, его можно убрать без ущерба для понимания:)))

Там есть формула, не прогрузилась у тебя, видимо.

Уменя тоже не прогрузилась

Поправил да, пустое место там лишнее было.

Так вижу

"Обратите внимание, насколько простая идея стоит за кулисами ряда Тейлора. Если положить

То автоматически

благодаря тому, что слева от k-го члена слагаемые обнулятся дифференцированием, а справа за счет ненулевой степени разности. И вуаля:

Но да, нюанс. Это все конечно весело и приятно, но сходимость полученных рядов следует "

Все формулы пропали

Извиняюсь. Должно быть, картинки с формулами расположены на каком-то ресурсе, который недолюбливают наши сис.админы

Кодекогс бывает и сам падает, увы.

Формула есть, для k-ой производной, и, вроде бы, больше ничего и не нужно, все понятно, но есть еще какая-то позиция...

Да, увидел. Поправил, спасибо.

Здравствуйте! Ваша запись попала в топ-25 популярных записей LiveJournal северного региона. Подробнее о рейтинге читайте в Справке.

Я обычно рассказывал по-другому, но и на аудиторию не отягченную каким-либо калькулюсом. Фишка в том, что если заметить, что поворот вокруг ноля можно описать как умножение, то за счет групповых свойств на автомате получаем, что -1 как поворот на угол пи, является i\pi степенью какого-то действительного числа. Собственно осталось разобраться почему действительное число в точности число е, ну и в этом месте я уже без объяснения зачем, просто кивая на матан, сообщал, что если синус пересекает OY под углом 45, то и степень этого числа должна себя вести также.

Да, что-то мне кажется что в восемнадцатом веке о сходимости рядов народно сильно не заботился. Но потом пришел Коши, и понеслось...

  • 1