Сегодня речь пойдет о знаменитой форумуле Эйлера:
которая при
Очевидно, что проблема вышепреведенной формулы распадается для широкой публики на две проблемы поменьше:
1. Экспонента от комплексного числа? ШТА?
2. Вывод формулы Эйлера.
На самом деле, эти пункты глубоко взаимосвязаны, но с текущей позиции это еще не очень хорошо видно. Понятно, что в первую очередь придется заняться п.1.
Мне представляется, что отсутствие внятного объяснения, какой смысл придается компонентам формулы и порождает неадекватное восприятие вышепреведенных соотношений. С точки зрения человека, прожившего всю свою счастливую жизнь на вещественной прямой, экспонента комлексного числа закономерно выглядит болезненным бредом. Наличие в анамнезе курса ТФКП помогает, кстати, не всегда, ибо мой препод, например, эту проблему в свое время обсуждать не стал и тупо предложил воспринимать элементарные функции комплексного аргумента как данность.
Итак, нашей первостепенной задачей станет распространнение действия экспоненты (а равно синусов и косинусов) на комплексные числа. По умному если, это называется продолжением функции в комплексную плоскость. При этом, абы каких продолжений можно придумать массу, но хотелось бы, чтобы результат был максимально похож по свойствам на исходную функцию. Добиться означенной цели возможно разными способами, я предлагаю пройтись простым и лобовым путем, которым в свое время воспользовался Леонард Эйлер.
Та как с экспоентой все сложно (на самом деле нет), давайте сначала поглядим на семейство функций, продолжение которых в комплексную плоскость естественно, как крик боли. Это, разумеется, полиномы, они же многочлены, они же функции следующего вида:
Что немаловажно, удобные нам свойства продолженных таким образом полиномов полностью сохраняются, в частности, они по прежнему дифференцируемы в любой точке с легкостью (и производная получается по тем же формулам, что и на вещественной прямой).
Как жаль, что экспонента не является полиномом! Или является? Здесь я (ехидно) предлагаю присутствующим остановиться и задуматься, откуда вообще следует (или не следует), что экспоненциальная функция непредставима в виде полинома?
.
.
.
Напоминаю, что производные экспоненты равны ей самой
Как жаль, что экспонента не является полиномом! Или является? Здесь я (ехидно) предлагаю присутствующим остановиться и задуматься, откуда вообще следует (или не следует), что экспоненциальная функция непредставима в виде полинома?
.
.
.
Напоминаю, что производные экспоненты равны ей самой
а также, что
То, что экспонента не является полиномом, покажем способом, полезным для дальнейшего. Пускай уж существует такой полином, что
Далее
далее
Искренне надеюсь, что хохму уже все уловили, поэтому сразу напишу
И все бы хорошо, но вот незадача, следующая, n+1 производная нашего полинома будет равна тождественному нулю, а вот экспонента останется экспонентой. Не получается, как ни крути, экспонента полиномом.
Отринем, однако же, грусть и поглядим поближе на получающиеся полиномы для разных n:
...
и так далее.
Наглядевшись, давайте возьмем и сравним их графики с графиком экспоненты (красная кривая):
Ход мысли уже должен быть ясен.
Продолжение следует.
