?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Решение задачки из закромов
ahiin
Условие здесь.

[Правильный ответ.]


В классе непрерывных всюду функций оно единственно.


Первое (и единственное правильное) решение дано celen_me.


Для нахождения одного из частных решений уравнения достаточно метода "пристального взгляда". Легко догадаться попробовать функцию вида

Тогда


Остается исследовать уравнение на единственность решения.

Пусть — решения исходного уравнения. Тогда их разность будет удовлетворять однородному уравнению


Для наших целей достаточно показать, что его единственное непрерывное решение
Для придания изящности рассуждениям сделаем подстановку (можно и без нее, но мне она нравится):


Тогда получим, что



Многократными подстановками получим (возвращая исходное обозначение):


Переходя к пределу при и помня, что решения у нас непрерывные, получим:


Собственно, задачка решена. Ура!

Остается сделать несколько попутных замечаний.

1. Очевидно, что для дословной справедливости указанных рассуждений непрерывность всюду не требуется, достаточно непрерывности в нуле. Однако, на мой вкус, такое усиленное условие содержит в себе слишком явную подсказку.

2.  Если условие непрерывности в нуле отбросить, то единственность решения будет, очевидно, нарушена, так как тогда, например, можно взять

Желающие могут поразвлекаться и поискать условия (отличные от непрерывности в нуле), при которых наши рассуждения сохраняют силу.

3. Приведенные рассуждения можно, при остром желании, практически дословно обобщить, рассматривая вместо какое-нибудь другое линейное пространство.


Вообще, эта задачка одна из моих любимых. Я до сих пор помню то удовольствие, которое получил, раздербанивая ее без малого двадцать лет назад. Правда, я тогда решал уравнение

  • 1
(Deleted comment)
В смысле? Первый шаг? Там можно и более формальным путем пойти, просто не нужно.

Здравствуйте! Ваша запись попала в топ-25 популярных записей LiveJournal северного региона. Подробнее о рейтинге читайте в Справке.

  • 1