Ян (ahiin) wrote,
Ян
ahiin

Решение задачки из закромов

Условие здесь.

[Правильный ответ.]


В классе непрерывных всюду функций оно единственно.


Первое (и единственное правильное) решение дано celen_me.


Для нахождения одного из частных решений уравнения достаточно метода "пристального взгляда". Легко догадаться попробовать функцию вида

Тогда


Остается исследовать уравнение на единственность решения.

Пусть — решения исходного уравнения. Тогда их разность будет удовлетворять однородному уравнению


Для наших целей достаточно показать, что его единственное непрерывное решение
Для придания изящности рассуждениям сделаем подстановку (можно и без нее, но мне она нравится):


Тогда получим, что



Многократными подстановками получим (возвращая исходное обозначение):


Переходя к пределу при и помня, что решения у нас непрерывные, получим:


Собственно, задачка решена. Ура!

Остается сделать несколько попутных замечаний.

1. Очевидно, что для дословной справедливости указанных рассуждений непрерывность всюду не требуется, достаточно непрерывности в нуле. Однако, на мой вкус, такое усиленное условие содержит в себе слишком явную подсказку.

2.  Если условие непрерывности в нуле отбросить, то единственность решения будет, очевидно, нарушена, так как тогда, например, можно взять

Желающие могут поразвлекаться и поискать условия (отличные от непрерывности в нуле), при которых наши рассуждения сохраняют силу.

3. Приведенные рассуждения можно, при остром желании, практически дословно обобщить, рассматривая вместо какое-нибудь другое линейное пространство.


Вообще, эта задачка одна из моих любимых. Я до сих пор помню то удовольствие, которое получил, раздербанивая ее без малого двадцать лет назад. Правда, я тогда решал уравнение
Tags: математика, ответ к задачке
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments