Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Давно не залезал в свои закрома
ahiin
UPD: расписал условие задачи немного подробнее.

Найдите все, непрерывные всюду, функции удовлетворяющие уравнению



Ответы скрываю до понедельника.
Решение.

  • 1
Обозначим a:= 2016. Рассмотрим f как сумму двух непрерывных функций g и h, причем a*g(ax)=g(x)+x. Ясно, что мы можем взять в качестве g любую из семейства функций f. Пусть g = x/(a^2-1)

h(ax)=h(x)/a . Очевидно, h(0) = 0. Пусть существует y =\= 0 такое, что h(y) =\= 0. Тогда h(y) = h(y/a^n)/a^n. Устремив n к inf получим, что при y->0 h(y) -> inf, что нарушает условие непрерывности. Следовательно, h = 0, f(x) = x/4064255 - единственное непрервыное решение.

f(x) = x / (2016 * 2016 -1)

Задачка с подвохом (есть недиффиринцируемое дважды решение)?
А то как-то простовато получается: f(x) = x / (2016 * 2016 -1)

(0) a*f(ax) = f(x) + x.

1.
Подставим "х == 0" =>
(1) f(0) == 0.

2.
Дважды продифференцируем обе части.
a**3 * f"(ax) = f"(x) =>
f"(x) == 0
(2) f(x) принадлежит: f(x) = kx + b.


3.
Помня про (1) и (2) подставим всё это в (0) получим:
а * (kax) = kx + x
(3) k = 1/ (a*a - 1) => f(x) = x / (2016*2016 - 1).

  • 1
?

Log in

No account? Create an account