?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
А вот кому голову поломать
ahiin
Подглядел отличную задачку.

На плоскости раскиданы N точек, причём известно, что площадь треугольника с вершинами в любой тройке из этих точек не превосходит 1. Докажите, что существует треугольник площади 4, который содержит все эти N точек.

Комментарии пока скрываю.
Решение.

  • 1
Интуитивно почти очевидно - сводится к вписанному и описанному треугольникам, а вот как доказать?,,

От всего множества точек нам интересны только те, по которым мы построим выпуклый многоугольник, внутри которого окажутся все точки. Поэтому сразу будем считать, что все N сразу того... Выпуклый многоугольник.

Самый нажористый по площади выпуклый многоугольник при неограниченном N - это окружность.

Поэтому правильный ответ на вопрос - сионистский заговор! https://www.instagram.com/p/BD2c3RlMj3c/?taken-by=rikhmaer

На самом деле по индукции и по построению...
1. Сначала ставятся 2 точки (расстояние между ними а)
2. третью точку можно поставить только внутри ленты, ось которой определяется первыми двумя точками, а ширина = 2/а. Шоб с запасом, поставим ее так, чтобы площадь треугольника была = 1, т.е. на границе ленты
3. третья точка задает еще две ограничивающие ленты, которые, по построению, пересекают первые две точки
4. а дальше начинается сношательство параллелограммов и эти ленты вырезают треугольник для всех оставшихся N-3 точек площадью 4

  • 1