August 6th, 2014

Решение предотпускной задачки.

Условие здесь.

Ответ:

Решение.
Переписав исходное неравенство в следующем виде:

становится очевидным, что интересующими нас решениями неравенства будут точки с целочисленными координатами, лежащими внутри эллипса с полуосями и , и центром, лежащим в начале координат.

Для я даже сварганил картинку. Для удобства нарисован только первый квадрант, обсуждаемый эллипс (обозначим его самого , а его площадь — ) изображен красным, решения — жирные голубые точки.

ell

Если теперь каждой точке-решению сопоставить единичный квадрат, то площадь фигуры, получающейся их объединением, будет в точности равна . На рисунке граница фигуры изображена сиреневым цветом.

Собственно, до идеи, что число решений что-то маленькое, причем вклад этого маленького с ростом все менее и менее значим, додумались почти все. Строгое доказательство этого "очевидного" факта потребует, тем не менее, некоторых усилий.

Очевидно, , или, что то же самое (используя формулу площади эллипса), Неплохо бы иметь аналогичную оценку сверху. Этим мы сейчас и займемся.

UPD. Новое решение, простое и красивое.
Разрежем эллипс на криволинейные отрезки единичной длины (последний из них может быть меньше единицы, это не меняет сути). Очевидно, что любой из таких отрезков может быть вписан в единичный квадрат. Который, в свою очередь, может пересекаться не более, чем с четырьмя квадратмами координатной сетки (показана зеленым).
Отсюда тривиально:


Здесь — длина эллипса . Дабы не возиться с эллиптическими интегралами, просто отметим, что

Окончательно имеем:

Деля почленно на и переходя к пределу, получим, что

Collapse )