August 25th, 2012

Условие Гёльдера-Липшица и его геометрический смысл.

Интерполяционные пространства  функций играют в современной математике и, в особенности, математической физике, весьма заметную роль. Одним из фундаментальных понятий данного раздела математической науки является условие Гёльдера-Липшица.

Это довольно простая, но весьма содержательная вещь и целью данного поста является разъяснение ряда идей и геометрических образов, стоящих за этим понятием. Все термины, которые не объясняются в тексте, я постарался снабдить ссылками на Википедию.

Итак, пусть на некотором множестве 1 задана функция 2, такая, что для любых 3 и некоторых констант 5 и 2a выполняется неравенство:


4.

В случае 6 последнее неравенство принято называть условием Липшица, в случае 7 - условием Гёльдера.
С исторической точки зрения это не совсем верно, так как Липшиц в своих исследованиях изначально рассматривал общее условие 5.

Collapse )