Ян (ahiin) wrote,
Ян
ahiin

Categories:

Неконструктивное доказательство.

Играясь с иррациональными числами, можно задаться вопросом: а существуют ли два иррациональных числа и , таких, что число , то есть является рациональным?

Все те же лица, плюс птички:
birds

Ответ на поставленный вопрос положительный, причем этому факту есть простое и изящное доказательство.

Теорема.
Существуют такие иррациональные и , что .

Доказательство.
Мы знаем, что число — иррационально. Положим Возможны два варианта: либо рационально, и тогда теорема доказано, либо иррационально. Но тогда
Теорема доказана.

Забавно, что доказательство не позволяет дать ответ на вопрос какие две пары иррациональных чисел удовлетворяют условию теоремы. Сейчас уже известно, что — иррационально, то есть искомая пара это и . Однако, доказать иррациональность оказывается очень непросто. Этот факт следует из теоремы Гельфонда-Шнайдера, доказанной в 1934 (sic!) году советским математиком Александром Гельфондом и, независимо, в 1935 году немецким математиком Теодором Шнайдером,

А вообще, теорема Гельфонда-Шнайдера является решением 7-й проблемы Гильберта, на минуточку.

Остается лишь отметить, что опираясь на существование трансцендентных чисел, можно достаточно легко строить в явном виде иррациональные числа и , такие, что . Однако, это уже совсем другая история.

UPD. В качестве упражнения, попробуйте доказать иррациональность числа . Тогда


Tags: opus, история, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 15 comments