Я уже
когда-то писал о том, как древние греки обнаружили, что число

является иррациональным, и о драматических событиях, которые в результате последовали.
Давайте рассмотрим сегодня простое доказательство того, что иррациональным является также число
![\sqrt[3]{2}](https://imgprx.livejournal.net/ab382f8798d0d145ddbcda5ac2396396b0eb3fc4/A846jkF8QPda-YtnZ5WfWFWThysS4YvzKNnvt2l35xv6lW7pueNZ0NIb72gbHXagA5LncGkhD7KuHpcKpTIICDnB5cfyB8egMOn6-wNRXZ8)
.
Предположим, что
![\sqrt[3]{2}](https://imgprx.livejournal.net/ab382f8798d0d145ddbcda5ac2396396b0eb3fc4/A846jkF8QPda-YtnZ5WfWFWThysS4YvzKNnvt2l35xv6lW7pueNZ0NIb72gbHXagA5LncGkhD7KuHpcKpTIICDnB5cfyB8egMOn6-wNRXZ8)
— рационально, а значит существуют такие натуральные числа

, что
Отсюда:
и, окончательно:
Однако, данное равенство невозможно в силу Великой теоремы Ферма. Противоречие. Иррациональность
![\sqrt[3]{2}](https://imgprx.livejournal.net/ab382f8798d0d145ddbcda5ac2396396b0eb3fc4/A846jkF8QPda-YtnZ5WfWFWThysS4YvzKNnvt2l35xv6lW7pueNZ0NIb72gbHXagA5LncGkhD7KuHpcKpTIICDnB5cfyB8egMOn6-wNRXZ8)
доказана.

Легко видеть, что доказательство тривиально обобщается на случай
![\sqrt[n]{2}, n\geq 3, n\in \mathbb{N}.](https://imgprx.livejournal.net/21003e2cff7664b7375aba8801e3b72cf8f4fc68/A846jkF8QPda-YtnZ5WfWFWThysS4YvzKNnvt2l35xv6lW7pueNZ0NIb72gbHXagnLIvozZCAqrCpQ9rUMY-kcJsD3zpzhp8Bgp9J4DyM9xG2JR2UEv1VfMHrhtpJ19gcrBmxRIi4RalPwTs5bgtfmX4c3BKyW_-kLoKd-zYeNMQTdW30TY-FrZUayovip7w)
Всем хороших выходных!