?

Log in

No account? Create an account

Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Решение задачки о трех множествах и Озера Вады.
ahiin
Условие задачи.

Обещал выложить решение еще в прошлую пятницу, но получилось только сегодня, каюсь.
Первым построение, дающее подходящее разбиение отрезка, предложил kercenter.

КДПВ:
wada-lakes-color_low
Оригинальный размер.




Искомые множества (пусть будут красное, зеленое и синее) получаются как результат итерационного процесса.
Сначала возьмем некоторый интервал на числовой оси.
На первом шаге разбиваем его на три одинаковых интервала (плюс появятся две дополнительные точки границы) и красим средний интервал в красный цвет. На втором шаге каждый из двух оставшихся интервалов в свою очередь разбивается на три (добавляя к границе по паре точек каждый), причем их средние части красятся в зеленый цвет. На третьем шаге оставшиеся неокрашенными интервалы разбиваются  на три, середины красятся в синий, на последующих шагах цвета повторяются циклически.

Процесс разбиения на интервалы можно проиллюстрировать черно-белой картинкой, которую я благородно свистнул из английской Википедии:


В результате множества, покрашенные в определенный цвет окажутся объединениями бесконечного (и счетного) количества открытых множеств, а значит сами являются открытыми. Плюс, в процессе построения мы получим (счетный) набор точек, являющихся границами интервалов нашего разбиения.
Если вы аккуратно вникнете в итерационный процесс, то обнаружите, что эти точки являются одновременно границей всех трех множеств, так как в любую, сколь угодно малую окрестность каждой из точек границы (включая границы исходного интервала) обязательно попадут точки, окрашенные во все три цвета.

Кстати, очевидно, что вышеприведенным способом можно построить не только три, но и любое конечное число множеств с единой общей границей.
Бонусный вопрос: можете ли вы предложить способ построить бесконечный счетный набор множеств, по прежнему имеющих общую границу?

Как это часто бывает, самое интересное кроется за вполне невинными, на первый взгляд, вопросами. Вот мы красили-красили наш интервал, и получается, что в процессе у нас оставались неокрашенными точки границы. Можно спросить себя: а могут ли еще какие-то точки остаться бесцветными? Не являющимися границей построенных трех множеств? Ответ, внезапно, положительный. Обожаю математику!

Вы можете попробовать проверить, например, что точка х=1/4 никогда не будет окрашена в результате нашей процедуры и при этом не является границей ни для одного из построенных интервалов.

Точки, остающиеся бесцветными в результате нашего построения образуют так называемое Канторово множество (ссылка на английскую Википедию, т.к. на русской очень уж унылая статья). Это вообще крайне интересный объект и один из первых известных математике фракталов (еще тех времен, когда фракталы не называли еще фракталами). Из его свойств следует, что неокрашенных точек будет не просто больше чем точек границы. Почти все неокрашенные точки не будут являться границами какого либо из интервалов (это следует из того факта, что Канторово множество не счетно (континуум, если точнее), а точки границы — счетны по построению).

Наигравшись вдоволь с одномерным случаем, зададимся теперь следующим вопросом: можно ли получить что-нибудь новенькое, перейдя с прямой на плоскость?
Ответ снова положительный. Построить подобные многоцветные множества с общей границей не просто можно (что очевидно). Гораздо интереснее, что на плоскости существуют связные многоцветные множества с единой границей. Один из примеров приведен на картинке для привлечения внимания.

Подобная конструкция называется Озерами Вады (в честь японского математика Такео Вады). Классическая картинка приведена по ссылке, как и схема построения. Сходите, поглядите.

А я вместо этого покажу еще одну красивую картинку:
Plykin3

Откуда взялись эти красоты и что в них еще интересного — это уже совсем другая история. История про аттракторы гиперболических динамических систем.
Для желающих: статья (на английском), откуда эти картинки взяты.
Ну и страничка автора, где вся эта радость лежит в высоком разрешении.




  • 1
Так и думал, что что-то фрактальное. Не додумался до способа построения.

Я тоже с утра намылился оставить комментарий в духе "хватит нам пудрить мозги комиксами, ответ давайте" с упоминанием жульничества с фракталами (или множествами натуральных чисел, к примеру), но сел на руки и не отправил :)

С большим интересом прочитал. Есть вопрос:
1. По-моему вот в этой фразе ошибка:

>> В результате множества, покрашенные в определенный цвет окажутся объединениями бесконечного (и счетного) количества открытых множеств, а значит сами являются открытыми.

Множества, окрашенные в одинаковый цвет будут континуальными (степень-множество от числа разбиений). Не знаю как это повлияет на док-во открытости.

Re: Спасибо.

Они-то будут континуальными, но сам набор таких множеств счетен по построению.
Объединение отрезков [i-1, i+1] тоже конитинуум, но набор таких отрезков счетен.

В данном случае это безразлично. Объединение что счетного, что несчетного набора открытых множеств - окрытое множество.

  • 1