Топология стандартная, евклидова, то есть определение открытого множества ровно такое, как учили в курсе матанализа/высшей математики.
Комментарии, как всегда, скрыты.
- Новая задачка на выходные.
ahiin- September 12th, 2014
Постройте на числовой оси три открытых непересекающихся множества, имеющих одну и ту же непустую границу.
Топология стандартная, евклидова, то есть определение открытого множества ровно такое, как учили в курсе матанализа/высшей математики.
Комментарии, как всегда, скрыты.Решение через несколько дней (но не раньше вторника).Решение.
- множество рациональных чисел на (0;1),
- множество иррациональных чисел на (0;1),
- множество действительных чисел на (1;2).
Они все открытые (если одно число входит в множество, всегда найдется ε-окрестность, которая тоже входит в него), не пересекаются (если число принадлежит одному множеству, то не принадлежит другим) и имеют общую границу - число 1.
первая (1/2)^n
вторая (1/3)^n
третья -(1/2)^n
Единственное, что приходит в голову:
П.С.
я только не помню, пустое множество равно самому себе или нет.
Множества A, B, C получаются при конструировании канторова множества - на первой итерации вырезается средний интервал, он помечается как входящий в А, на второй итерации вырезается 2 интервала, помечаются как В, на 3-й итерации 4 интервала С, на следующей итерации снова А.
В троичной записи:
А - множество чисел от 0 до 1, на 1, 4, 7, 10... позиции стоит первая "1"
В - множество чисел от 0 до 1, на 2, 5, 8, 11... позиции стоит первая "1"
С - множество чисел от 0 до 1, на 3, 6, 9, 12... позиции стоит первая "1".
(множество чисел, в которых так ни одной "1" не обнаружилось в троичной записи соответственно канторово и есть)
Состоят из интервалов, нигде не пересекаются, граница непустая и общая. Вроде все соблюдено...
Edited at 2014-09-17 05:01 am (UTC)
Извините, сразу не додумался
I. самое простое, с границей состоящей из 2 точек (для определённости a < b):
1. (-oo, a) U (a, +b)
2. (-a; +b)
3. (-a, +b) U (+b, +oo)
// тут oo -- обозначение бесконечности
II. Без лучей чуть длиннее, граница минимум 6 точек (для определённости v < u < a < b < x < y):
1. (v, u) U (u, a) U (a, b) U (x, y)
2. (v, u) U (a, b) U (x, y)
3. (v, u) U (a, b) U (b, x) U (x, y)
III. Общий случай сколько угодно точек (для определённости: для любых i j; i < j => n(i) < n(j)):
разобьём на интервалы:
n0 - n1 - n2 - n3 - n4 - .... -n(x)
1. Граничные интервалы: (n0, n1), (n(x-1), n(x))
2. Чётные интервалы: (n(i), n(i+1)), i - чётное
3. Нечётные интервалы: (n(i), n(i+1)), i - нечётные.
4 Любое мн-во, включающее:
- граничные интервалы U все чётные интревалы U любое подмножество нечётных интервалов
- граничные интервалы U все нечётные интервалы U любое подмножество чётных интервалов
будет иметь границу, состоящую из всех точек n: n0..n(x).
П.С.
отредактировал, т.к. в исходной версии отступы в "поползли".
Edited at 2014-09-16 09:50 am (UTC)