Ян (ahiin) wrote,
Ян
ahiin

Решение предотпускной задачки.

Условие здесь.

Ответ:

Решение.
Переписав исходное неравенство в следующем виде:

становится очевидным, что интересующими нас решениями неравенства будут точки с целочисленными координатами, лежащими внутри эллипса с полуосями и , и центром, лежащим в начале координат.

Для я даже сварганил картинку. Для удобства нарисован только первый квадрант, обсуждаемый эллипс (обозначим его самого , а его площадь — ) изображен красным, решения — жирные голубые точки.

ell

Если теперь каждой точке-решению сопоставить единичный квадрат, то площадь фигуры, получающейся их объединением, будет в точности равна . На рисунке граница фигуры изображена сиреневым цветом.

Собственно, до идеи, что число решений что-то маленькое, причем вклад этого маленького с ростом все менее и менее значим, додумались почти все. Строгое доказательство этого "очевидного" факта потребует, тем не менее, некоторых усилий.

Очевидно, , или, что то же самое (используя формулу площади эллипса), Неплохо бы иметь аналогичную оценку сверху. Этим мы сейчас и займемся.

UPD. Новое решение, простое и красивое.
Разрежем эллипс на криволинейные отрезки единичной длины (последний из них может быть меньше единицы, это не меняет сути). Очевидно, что любой из таких отрезков может быть вписан в единичный квадрат. Который, в свою очередь, может пересекаться не более, чем с четырьмя квадратмами координатной сетки (показана зеленым).
Отсюда тривиально:


Здесь — длина эллипса . Дабы не возиться с эллиптическими интегралами, просто отметим, что

Окончательно имеем:

Деля почленно на и переходя к пределу, получим, что


Дабы сократить размер портянки, я дальше буду технические действия пропускать. Если кому-то покажется, что ход решения освещен недостаточно — скажите, я распишу подробнее.

Непосредственно из картинки видно, что точки нашей "квадрированной" фигуры не могут отстоять от эллипса дальше, чем на (длину диагонали единичного квадрата). Давайте отступим от эллипса наружу на и поглядим, что за фигура у нас получится.

Исходя из параметрического представления для : тривиальным дифференцированием, поворотом по часовой на прямой угол и нормировкой, получим, что внешняя нормаль к будет иметь вид:
Отсюда, параметрическое представление "кривой отступа" будет следующим:
Мрачновато, как по мне. К счастью, несложно показать, что эта кривая целиком лежит внутри объемлющего эллипса с полуосями и Этот эллипс изображен на картинке синим.


Отвлекаясь от груды формул. Что именно тут произошло? Все просто: мы взяли нормаль к эллипсу , отступили вдоль нее на некоторое расстояние, посмотрели на получившуюся кривую, ужаснулись и для упрощения дальнейшей жизни, обвели ее снаружи еще одним эллипсом, который назвали .

Очевидно, или, что то же самое,
Объединяя левое и правое неравенства, окончательно имеем:

Деля почленно на и переходя к пределу, получим, что
Tags: математика, ответ к задачке
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 6 comments