удовлетворяющее условию
На всякий случай: многоточие в левой части уравнения понимается том смысле, что суммирование по порядкам производных продолжается до бесконечности.
Идеи и решения, как всегда, в комментарии, которые, как всегда, скрыты.
Сегодня вечером убываю в безынтернетную зону, так что ответ, решение и раскрытие комментариев — в понедельник.
Ответ.
1) у' + z = х
а продифференцировав исходное уравнение, получаем:
2) z =1
из 1) и 2) получается y' + 1 = x, или y = x*x/2 - x + C
А из начального условия - C = 0
То есть, ответ
y = x*x/2 - x
Примечание. Эти рассуждения могут быть некорректны, если не выставлять требование, что бесконечная сумма - сходящийся ряд (будем считать, что неявно это требование выставлено)
Судя по тому, что его производная старшего порядка линейна (x), сам он является многочленом второй степени (из условия следует, что с нулевым свободным членом).
Запишем начальное уравнение, подставив в него производные квадратичной функции с нулевым свободным членом y=ax2 + bx:
(2ax + b) + (2a + 0) = x | для любого x
Отсюда:
2ax = x => a = 1/2
(x + b) + 1 = x => b = -1
Записываем: y = x2/2 - x
Производная первого порядка y' = x - 1, второго y'' = 1. Дальше нули. x - 1 + 1 = x, как и требовало условие.
Интересно поискать что-то посложнее. Но это уже на бумаге надо попробовать.
Тогда y(x)=x2/2 - x
Можно получить методом пристального взгляда.
А можно отбрать одну производную от суммы, кроме первого слагаемого.
y' + (y' + y'' + ...)' = x
Подставляя выражение в скобках, получаем
y' + (x)' = x
y' = x - 1
y = x2/2 - x + C
Из начального условия С = 0.
Интегрируем один раз получаем
у+у'+у''+... = х2/2+С
Заменяем ряд исходя из равенства.
у + х = х2/2+С
у(0)=0 значит С=0
У=х2/2-х
y''+y'''+... = 1
Подставляем в исходное, получаем:
y'+1 = x
y' = x - 1
y = x^2/2 - x + c
y(0) = 0 => c = 0
Итого:
y = x^2/2 - x
y' = x - 1
y'' = 1
y'''=y''''=...=0