Ян (ahiin) wrote,
Ян
ahiin

Category:

Ответ на задачку с определителями.

Напомню условие:
Квадратная матрица порядка с элементами называется антисимметрической, если .
Докажите, что определитель антисимметрической матрицы нечетного порядка всегда равен 0.

Как справедливо указали ряд комментаторов, решение можно получить, анализируя комбинаторную формулу определителя матрицы. Однако, это было бы садизмом давать задачку, для которой такой подход является единственно возможным.

Вот мое решение:
.

Отсюда, при нечетном n получим, что , а значит .


На первом шаге мы опираемся на то, что операция транспонирования матрицы не меняет ее определитель, т.е. .
По определению антисимметрической матрицы, имеем что .
Далее, как известно, при умножении строки (или столбца матрицы на число, определитель матрицы умножается на это же число, т.е.

Умножение всей матрицы на -1 эквивалентно умножению каждой строки матрицы на это число, т.е. .
И все!

Tags: математика, ответ к задачке
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 3 comments