Продолжаем разговор о пространствах

Прежде чем двигаться дальше, нам необходимо более детально обсудить множество

Напомню, что

Добавив к нему все точки прикосновения, получим его замыкание

На практике, чаще всего замыкание получается, когда к множеству присоединяется его граница.
(Хотя, конечно, не всегда. Замыканием множества рациональных чисел, например, является множество вещественных (действительных) чисел. Ну и где тут граница?).
Пример 1. Интервал


Пример 2. Внутренность круга


На замкнутом множестве также вполне можно определить пространство

Очевидно

Упражнение (совсем несложное): докажите утверждение.
В этот момент возникает очень соблазнительное предположение, что

Увы, это далеко не так.
Упражнение (несложно): на числовой прямой







Как видим, зажигают функции, не являющиеся равномерно непрерывными на

Упражнение (простое): на числовой прямой






Упражнение (очень простое для тех кто справился с предыдущим): на плоскости






Как видите, не все так просто.
В этих двух упражнениях жару поддавали области с т.н. двойной границей. К сожалению - это далеко не единственный вариант, доставляющий неприятностей.
Тема геометрии границы областей, а так же влияния этой геометрии на свойства функциональных пространств, определнных на таких областях - очень интересна и обширна. К этому вопросу мы обязательно вернемся в будущем. Здесь же, в рассказе о пространствах

Таким свойством обладают, например, области с гладкой границей, со строго липшицевой границей и т.п.
Закрывая тему пространств


Упражнение (факультативное, сложное): используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, покажите сепарабельность пространств

Переходим, наконец, к рассмотрению пространств

Норма в нем задается следующим образом:




Норма пространство


Упражнение (простое): покажите, что если убрать член

Важное специальное пространство


Упражнение (элементарное): покажите, что


Общий случай

Также, для пространств


Свойства функций с условием Гёльдера-Липшица достаточно подробно разобраны в предыдущих публикациях. Рассмотрим теперь свойства пространств

Пристегните ремни!
Теорема 1. Пространство

Доказательство. Без ограничения общности, будем рассматривать пространство

Заметим, что по определению, очевидно неравенство:

Или, в нашем частном случае:

Рассмотрим фундаментальную в смысле нормы
последовательность функций
.
Напомню, это означает, что для любого сколь угодно малого
существует такое натуральное
, что выполняется
при
.
Опираясь на это соотношение, для каждого
, можно записать


Напомню, это означает, что для любого сколь угодно малого




Опираясь на это соотношение, для каждого


Т.е.

при
.
Таким образом, последовательность вещественных чисел
является фундаментальной, а значит имеет предел, который мы обозначим
.
В итоге, получаем, что функциональная последовательность
сходится поточечно к некоторой функции
.
Более того, сходимость эта равномерна, и, следовательно
- непрерывна.
[С чего вдруг?]
Первый том Фихтенгольца в помощь!
Осталось доказать, что
, т.е
и
в смысле нормы
.

Таким образом, последовательность вещественных чисел


В итоге, получаем, что функциональная последовательность


Более того, сходимость эта равномерна, и, следовательно

[С чего вдруг?]
Первый том Фихтенгольца в помощь!
Осталось доказать, что




Заметим, что в силу непрерывности
, выражение


имеет смысл для любых
.


Покажем сначала, что

Фиксируем некоторое
, тогда в силу равномерной сходимости найдется такое
, что для любого
, верно




Отсюда справедливо:

Наконец:

Теперь нужно немного расслабиться. Дышим глубоко и ровно, глубоко и ровно!
Отдышавшись, продолжаем:

для любого
.
(Внимание! Тонкий маневр.)
Последнее соотношение означает, в силу фундаментальность
, возможность указать для нашего фиксированного
, такое натуральное
, что

(Внимание! Тонкий маневр.)
Последнее соотношение означает, в силу фундаментальность





Едем дальше:


Отсюда, наконец:

Выберем такое
, чтобы выполнялись одновременно оба неравенства:



и почленно просуммируем:


Смахнем трудовой пот со лба: доказано, что


Осталось недолго. Терпеть!
Выберем





Отсюда, беря супремум и почленно складывая:

Иными словами:

Итак, нами показано, что



Теорема доказана.
В следующей серии:
Обсуждение вопроса, чего ради были эти мучения - почему так важна полнота (банаховость) пространства.
Аппроксимация функций с условием Липшица-Гёльдера кусочно-линейными функциями и погрешность такой аппроксимации.
Сепарабельность нормированного пространства: что это и зачем.
Исследование сепарабельности пространства

Продолжение.