Продолжаем разговор о пространствах
.Прежде чем двигаться дальше, нам необходимо более детально обсудить множество
.Напомню, что
открытое множество.Добавив к нему все точки прикосновения, получим его замыкание
.На практике, чаще всего замыкание получается, когда к множеству присоединяется его граница.
(Хотя, конечно, не всегда. Замыканием множества рациональных чисел, например, является множество вещественных (действительных) чисел. Ну и где тут граница?).
Пример 1. Интервал
. Его замыкание 
.Пример 2. Внутренность круга
. Его замыкание 
.На замкнутом множестве также вполне можно определить пространство
.Очевидно
.Упражнение (совсем несложное): докажите утверждение.
В этот момент возникает очень соблазнительное предположение, что
, т.е. эти пространства населяют одни и те же функции.Увы, это далеко не так.
Упражнение (несложно): на числовой прямой
рассмотрите функции 
на интервале . , очевидно, отрезок . Покажите, что 
.Как видим, зажигают функции, не являющиеся равномерно непрерывными на
. Хотелось бы верить, что на этом неприятности закончатся. Однако, надежды тщетны.Упражнение (простое): на числовой прямой
рассмотрите множество 
, т.е. интервал с выколотой точкой нуль , очевидно, отрезок 
. Постройте пример функции, такой что .Упражнение (очень простое для тех кто справился с предыдущим): на плоскости
рассмотрите множество точек с координатами 
, таких что 
. Постройте пример функции, такой что .Как видите, не все так просто.
В этих двух упражнениях жару поддавали области с т.н. двойной границей. К сожалению - это далеко не единственный вариант, доставляющий неприятностей.
Тема геометрии границы областей, а так же влияния этой геометрии на свойства функциональных пространств, определнных на таких областях - очень интересна и обширна. К этому вопросу мы обязательно вернемся в будущем. Здесь же, в рассказе о пространствах
, мы ограничимся областями, в которых равномерно непрерывные функции могут быть продолжены на замыкание.Таким свойством обладают, например, области с гладкой границей, со строго липшицевой границей и т.п.
Закрывая тему пространств
, замечу что они обладают важнейшим свойством сепарабельности. Тому, что это за свойство и почему оно столь важно я посвящу отдельный (следующий) пост, с разбором на примере пространства .Упражнение (факультативное, сложное): используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, покажите сепарабельность пространств
.Переходим, наконец, к рассмотрению пространств
.Норма в нем задается следующим образом:
. Для краткости, я его буду обозначать 
. Напомню, что 
.Норма пространство
выглядит куда попроще:
Упражнение (простое): покажите, что если убрать член
, то соотношение перестанет быть нормой.Важное специальное пространство
иногда обозначается 
и называется пространством Липшица.Упражнение (элементарное): покажите, что
и при этом 
.Общий случай
иногда называют пространтвами Гёльдера.Также, для пространств
можно встретить в литературе обозначение 
. Я не буду его использовать.Свойства функций с условием Гёльдера-Липшица достаточно подробно разобраны в предыдущих публикациях. Рассмотрим теперь свойства пространств
, как единого целого.Пристегните ремни!
Теорема 1. Пространство
банахово.Доказательство. Без ограничения общности, будем рассматривать пространство
.Заметим, что по определению, очевидно неравенство:
Или, в нашем частном случае:
Рассмотрим фундаментальную в смысле нормы последовательность функций 
.
Напомню, это означает, что для любого сколь угодно малого
существует такое натуральное 
, что выполняется 
при 
.
Опираясь на это соотношение, для каждого
, можно записать
последовательность функций .Напомню, это означает, что для любого сколь угодно малого
существует такое натуральное , что выполняется при .Опираясь на это соотношение, для каждого
, можно записать
Т.е.
при .
Таким образом, последовательность вещественных чисел
является фундаментальной, а значит имеет предел, который мы обозначим 
.
В итоге, получаем, что функциональная последовательность сходится поточечно к некоторой функции 
.
Более того, сходимость эта равномерна, и, следовательно - непрерывна.
[С чего вдруг?]
Первый том Фихтенгольца в помощь!
Осталось доказать, что
, т.е 
и 
в смысле нормы .
.Таким образом, последовательность вещественных чисел
является фундаментальной, а значит имеет предел, который мы обозначим .В итоге, получаем, что функциональная последовательность
сходится поточечно к некоторой функции .Более того, сходимость эта равномерна, и, следовательно
- непрерывна.[С чего вдруг?]
Первый том Фихтенгольца в помощь!
Осталось доказать, что
, т.е и в смысле нормы .Заметим, что в силу непрерывности , выражение
, выражение
имеет смысл для любых 
.
.Покажем сначала, что
.Фиксируем некоторое , тогда в силу равномерной сходимости найдется такое 
, что для любого 
, верно
, тогда в силу равномерной сходимости найдется такое , что для любого , верно
Отсюда справедливо:
Наконец:
.Теперь нужно немного расслабиться. Дышим глубоко и ровно, глубоко и ровно!
Отдышавшись, продолжаем:
для любого .
(Внимание! Тонкий маневр.)
Последнее соотношение означает, в силу фундаментальность , возможность указать для нашего фиксированного , такое натуральное , что
.(Внимание! Тонкий маневр.)
Последнее соотношение означает, в силу фундаментальность
, возможность указать для нашего фиксированного , такое натуральное , что
Едем дальше:
Отсюда, наконец:
Выберем такое , чтобы выполнялись одновременно оба неравенства:
, чтобы выполнялись одновременно оба неравенства:и почленно просуммируем:
Смахнем трудовой пот со лба: доказано, что
. Таким образом .Осталось недолго. Терпеть!
Выберем
, чтобы для любых и одновременно выполнялись условия:Отсюда, беря супремум и почленно складывая:
Иными словами:
Итак, нами показано, что
в смысле нормы .Теорема доказана.
В следующей серии:
Обсуждение вопроса, чего ради были эти мучения - почему так важна полнота (банаховость) пространства.
Аппроксимация функций с условием Липшица-Гёльдера кусочно-линейными функциями и погрешность такой аппроксимации.
Сепарабельность нормированного пространства: что это и зачем.
Исследование сепарабельности пространства
.Продолжение.
