Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 2.

Первая часть тут.

Продолжаем разговор о пространствах   .


Прежде чем двигаться дальше, нам необходимо более детально обсудить множество   .
Напомню, что   открытое множество.
Добавив к нему все точки прикосновения, получим его замыкание   .
На практике, чаще всего замыкание получается, когда к множеству присоединяется его граница.
(Хотя, конечно, не всегда. Замыканием множества рациональных чисел, например, является множество вещественных (действительных) чисел. Ну и где тут граница?).

Пример 1. Интервал   . Его замыкание   .
Пример 2. Внутренность круга   . Его замыкание   .

На замкнутом множестве также вполне можно определить пространство   .

Очевидно .
Упражнение (совсем несложное): докажите утверждение.

В этот момент возникает очень соблазнительное предположение, что   , т.е. эти пространства населяют одни и те же функции.
Увы, это далеко не так.

Упражнение (несложно): на числовой прямой   рассмотрите функции    на интервале   .  , очевидно, отрезок   . Покажите, что   .

Как видим, зажигают функции, не являющиеся равномерно непрерывными на   . Хотелось бы верить, что на этом неприятности закончатся. Однако, надежды тщетны.

Упражнение (простое): на числовой прямой   рассмотрите множество   , т.е. интервал с выколотой точкой нуль , очевидно, отрезок   . Постройте пример функции, такой что   .

Упражнение (очень простое для тех кто справился с предыдущим): на плоскости   рассмотрите множество    точек с координатами   , таких что   . Постройте пример функции, такой что   .

Как видите, не все так просто.
В этих двух упражнениях жару поддавали области с т.н. двойной границей. К сожалению - это далеко не единственный вариант, доставляющий неприятностей.

Тема геометрии границы областей, а так же влияния этой геометрии на свойства функциональных пространств, определнных на таких областях - очень интересна и обширна. К этому вопросу мы обязательно вернемся в будущем. Здесь же, в рассказе о пространствах   , мы ограничимся областями, в которых равномерно непрерывные функции могут быть продолжены на замыкание.
Таким свойством обладают, например, области с гладкой границей, со строго липшицевой границей и т.п.

Закрывая тему пространств   , замечу что они обладают важнейшим свойством сепарабельности.  Тому, что это за свойство и почему оно столь важно я посвящу отдельный (следующий) пост, с разбором на примере пространства   .

Упражнение (факультативное, сложное): используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, покажите сепарабельность пространств   .

Переходим, наконец, к рассмотрению пространств .
Норма в нем задается следующим образом:

Спешу успокоить: на эту норму мы посмотрели, впечатлились и больше ее не увидим. Как я уже говорил и даже давал упражнение, все самое интересное происходит с производной старшего порядка. Поэтому, без потери общности, в дальнейшем будем разбираться с пространство   . Для краткости, я его буду обозначать   . Напомню, что   .

Норма пространство   выглядит куда попроще:

Упражнение (простое): покажите, что если убрать член   , то соотношение перестанет быть нормой.

Важное специальное пространство    иногда обозначается   и называется пространством Липшица.
Упражнение (элементарное): покажите, что   и при этом   .

Общий случай    иногда называют пространтвами Гёльдера.
Также, для пространств    можно встретить в литературе обозначение   . Я не буду его использовать.

Свойства функций с условием Гёльдера-Липшица достаточно подробно разобраны в предыдущих публикациях. Рассмотрим теперь свойства пространств   , как единого целого.

Пристегните ремни!

Теорема 1. Пространство   банахово.
Доказательство. Без ограничения общности, будем рассматривать пространство   .
Заметим, что по определению, очевидно неравенство:

Или, в нашем частном случае:

Рассмотрим фундаментальную в смысле нормы    последовательность функций .
Напомню, это означает, что для любого сколь угодно малого   существует такое натуральное , что выполняется при .

Опираясь на это соотношение, для каждого , можно записать

Т.е.

при .
Таким образом, последовательность вещественных чисел   является фундаментальной, а значит имеет предел, который мы обозначим .
В итоге, получаем, что функциональная последовательность сходится поточечно к некоторой функции .
Более того, сходимость эта равномерна, и, следовательно - непрерывна.
[С чего вдруг?]
Первый том Фихтенгольца в помощь!


Осталось доказать, что ,  т.е   и   в смысле нормы .

Заметим, что в силу непрерывности   , выражение

имеет смысл для любых   .

Покажем сначала, что   .

Фиксируем некоторое   , тогда в силу равномерной сходимости найдется такое   , что для любого   , верно

Отсюда справедливо:

Наконец:

.

Теперь нужно немного расслабиться. Дышим глубоко и ровно, глубоко и ровно!

Отдышавшись, продолжаем:

для любого .

(Внимание! Тонкий маневр.)
Последнее соотношение означает, в силу фундаментальность   , возможность указать для нашего фиксированного   , такое натуральное   , что

Едем дальше:

Отсюда, наконец:

Выберем такое   , чтобы выполнялись одновременно оба неравенства:

и почленно просуммируем:

Смахнем трудовой пот со лба: доказано, что   . Таким образом   .

Осталось недолго. Терпеть!

Выберем   , чтобы для любых   и  одновременно выполнялись условия:

Отсюда, беря супремум и почленно складывая:

Иными словами:

Итак, нами показано, что   в смысле нормы   .
Теорема доказана.

В следующей серии:

Обсуждение вопроса, чего ради были эти мучения - почему так важна полнота (банаховость) пространства.

Аппроксимация функций с условием Липшица-Гёльдера кусочно-линейными функциями и погрешность такой аппроксимации.

Сепарабельность нормированного пространства: что это и зачем.
Исследование сепарабельности пространства   .

Продолжение.