Это довольно простая, но весьма содержательная вещь и целью данного поста является разъяснение ряда идей и геометрических образов, стоящих за этим понятием. Все термины, которые не объясняются в тексте, я постарался снабдить ссылками на Википедию.
Итак, пусть на некотором множестве






В случае


С исторической точки зрения это не совсем верно, так как Липшиц в своих исследованиях изначально рассматривал общее условие

Для начала разберемся со случаем

Рассмотрим значение функции




Даже из приведенной картинки сразу видно, что на любом ограниченном интервале (а равно и отрезке. и области, и компакте) функция, удовлетворяющая условию Липшица - ограничена.
Упражнение (очень простое): используя определение, аналитически покажите ограниченность функции с условием Липшица.
Рассмотрим следующую картинку, на которой конусы разместим на границах отрезка.

Более того, такой параллелограмм можно построить для любой пары сколь угодно близких точек (пример показан на рисунке красным). Таким образом, просто из геометрических соображений мы можем предположить, что липшицева функция непрерывна.
Обратное неверно, далеко не всякая ограниченая (и даже непрерывная) функция удовлетворяет условию Липшица.
Упражнение (очень простое): используя определение, покажите, что условие Липшица не выполняется для функции

Более того, функция с условием Липшица не просто непрерывна, а равномерно непрерывна. Именно этим свойством в свое время воспользовался Липшиц при выводе достаточных условий равномерной сходимости рядов Фурье.
Упражнение (простое): используя определение, покажите равномерную непрерывность липшицевой функции.
Перепишем условие Липшица в несколько ином виде:



Копая в этом направлении долго и упорно, можно показать, что верна:
Теорема Радемахера: функция, удовлетворяющая условию Липшица на множестве

[Пояснение про множества меры ноль.]
К сожалению, в википедии понятие "почти всюду" и "множество меры ноль" изложены... несколько неудовлетворительно.
Не зарываясь в теорию меры Лебега, поясню: на прямой множествами меры ноль являются конечные или счетные наборы точек, на плоскости к ним добавляются кривые, в пространстве - поверхности. Т.е. - это множества точек с нулевой длиной, площадью и объемом соответственно.
Как эта теорема доказывается и что интересного из этого выходит, я расскажу как-нибудь в другой раз.
Для нас сейчас будет более интересно обратное простое утверждение.
Теорема: непрерывно дифференцируемая на замкнутом и ограниченном



[Указание.]
Используйте теоремы Вейерштрасса и Лагранжа.
Отсюда, кстати вытекает, что большая часть элементарных функций удовлетворяет условию Липшица на любом ограниченном отрезке.
Упражненеи (ваще простое): покажите, что функция

Наконец, на сладкое:
Упражнение (простое, пункты 4 и 5 посложнее, с подковыркой): пусть даны две функции


1.

2.

3.

4.

5.
Продолжение.
В следующей серии:
Рассмотрение случая

Ответ на вопрос, почему мы рассматриваем диапазон

А также многое другое:)