Ян (ahiin) wrote,
Ян
ahiin

Category:

Типо отгадка.

Забыл, что типо загадку задавал. Исправляюсь.

Напомню картинку:


Понятное дело, что проблемы вовсе не у Архимеда.


Суть тут та же что и
[в задаче про шапку.]
Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает, и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать, продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.

На сколько обманули продавца?


А именно, нам с уверенным видом проталкивают откровенную залепуху.

То, что описанный процесс в пределе даст равную кругу площадь  - совершенно верно, доказывается элементарно и более того, интуитивно понятно. А к этому прицепом протаскивается идея равенства периметров.

Ложность этой посылки становится очевидной сразу, стоит лишь задуматься над вопрсом: как вообще связаны длина периметра фигуры и ее площадь? Потому что правильный ответ: в общем случае практически никак.

Да, площадь фигуры с периметром заданной длины ограничена сверху (как раз площадью круга), но это и все.
Периметр фигуры заданной площади можно сделать сколь угодно большим.

Экстремальным примером является так называемая снежинка Кох, являющаяся пределом следующего процесса:


Площадь фигуры, ограниченной кривой - конечна (это несложно показать). Периметр же - бесконечен (доказательство чуть сложнее).
Вообще, снежинка Кох - это очень богатый на смыслы объект. Например, она является одним из первых (но не первым) известных математикам примеров фрактала. Причем сам термин "фрактал" появился гораздо позже.

Дабы облегчить себе жизнь, я честно попячил несколько картинок и формул из аналогичного английского поста.

Правильный подход к проблеме дает следующее:


Прямо из картинки, длина кривой приближенно оценивается по формуле:

Ежели теперь аккуратно перейти к пределу, то получится
.
Таким образом, если мы хотим, чтобы наш предельный процесс давал равенство длин, то нужно прежде всего позаботиться о сходимости производных, чего, понятное дело, на исходной картинке нет и близко.

Тут можно проследить некоторую аналогию с попытками аппроксимировать элементы пространства Гёльдера кусочно-линейными функциями.

Ну и напоследок замечу следующее: снежинка Кох является экстремальным примером еще и потому, что будучи непрерывной, при этом ни в одной точке не гладкая. Можно задаться вопросом: нельзя ли установить какие-либо зависимости, хотя бы в форме неравенств, между длиной периметра фигуры и ее площадью, если наложить те или иные условия гладкости? И, может быть, выполнение подобных неравенств само по себе является критерием гладкости границы?

Подобные вопросы и ответы на них играют, внезапно, важную роль в теории пространсв Соболева и, шире, математической физике.
Но это уже совсем, совсем другая история.
Tags: opus, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 12 comments