Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Бонус-трек.
ahiin
Начало.
Предыдущая часть.

В процессе написания сериала о пространствах Гёльдера-Липшица, я, похоже, поступил несколько жестокосердно, обойдя своим вниманием такое важное понятие, как модуль непрерывности. С его помощью, в частности, можно построить несколько более общую теорию пространств непрерывных функций с дробным показателем гладкости,  в рамках которой рассмотренные ранее пространства становятся наиболее важным частным случаем. Обобщение это не слишком радикальное, однако же кое-что интересное извлечь из него можно.

К тому же, модуль непрерывности является поводом уже сейчас немного поговорить о чрезвычайно важной, и прежде всего для приложений, шкале пространств Бесова.

ФДПВ:


Разбираться будем с одномерным случаем (да, я лентяй).

Модулем непрерывности  будем называть непрерывную функцию, обладающую следующими свойствами:
1.
2. при
3.

Из определения вытекают два, почти очевидных, дополнительных свойства:
1.
2.

Упражнение (простое): используя метод математической индукции докажите первое свойство, затем как следствие первого - второе.

Пример 1.
Пример 2.

Непрерывная на отрезке (а значит и равномерно непрерывная) функция порождает модуль непрерывности функции посредством соотношения:


Упражнение (несложное): убедитесь, что - модуль непрерывности.

Обратно, для всякого модуля непрерывности существует функция , такая что

Упражнение (средней сложности): постройте .
Дальнейший текст является спойлером к этому упражнению, так что желающим найти ответ самостоятельно лучше остановиться здесь и продолжить чтение уже после победы над задачей.
Грубо говоря, модуль непрерывности показывает, насколько "быстро" может меняться функция. Это довольно тонкий инструмент, который активно используется в анализе.

Например, если для функции сходится интеграл:
то ряд Фурье данной функции сходится поточечно на отрезке . (См. признак Дини, внезапно годная статья на Википедии).

Для нас понятие модуля непрерывности интересно тем, что позволяет ввести обобщение пространств Гёльдера-Липшица.

Пусть задан некоторый модуль непрерывности , тогда можно ввести пространство непрерывных функций с нормой:
или, что то же самое:
Пространство - банахово, в чем желающие могут убедиться самостоятельно.

Модуль непрерывности из первого примера порождает подробно рассмотренные в предыдущих выпусках пространства

Менее тривиальным является пример 2, с модулем Этот модуль порождает пространство так называемых "почти липшицевых" функций. Если обозначить это пространство какой-нибудь буковкой, скажем , то взаимоотношения с "обычными" пространствами Гёльдера-Липшица у него будут следующими:
Внезапно, в нашу стройную, логичную и просто красивую шкалу пространств Гёльдера-Липшица, параметризованную единственным и очень простым параметром , влезло какое-то растрепанное нечто. Обожаю математику.

Теорема: каков бы ни был модуль непрерывности , порождаемое им пространство не является сепарабельным.

Упражнение (средней сложности): докажите теорему.
[Указание.]
Доказательство дословно повторяет случай , если положить

Как видите, сепарабельность - весьма свободолюбива. Малейшее, просто самое маленькое и мягкое ограничение на скорость изменения функции, и привет семье, мы оказываемся в мрачном, странном и пугающем мире несепарабельных пространств.

Переходим к десерту.
Введенный выше модуль непрерывности функции - не единственный способ построение модуля непрерывности по заданной функции.
- модуль непрерывности функции определим следующим образом:
Здесь
Это тупо конечная разность с обнулением в случае выхода за границы отрезка.
[Еще больше пояснений к формуле.]
Как обычно,
Интеграл тут, ясное дело, понимается в смысле Лебега.

Можете убедиться самостоятельно, что - модуль непрерывности функции таки является модулем непрерывности в смысле нашего самого первого определения. При этом сама функция вовсе не обязана быть непрерывной.

В отличие от рассмотренного ранее, -модуль ограничивает не максимальную скорость изменения функции, а скорость ее изменения "в среднем".

При желании, можно, ввести в рассмотрение модули более высоких порядков, скажем, второго:
Используя модуль второго порядка, получим, что норма пространства Бесова, например , будет выглядеть следующим образом:
Обратите внимание на интеграл. Его сходство с упоминавшимся выше признаком Дини вовсе не случайно (подумайте, почему).
Если же не заморачиваться с модулями непрерывности и записать норму Бесова в "обычном" виде, то одним из вариантов будет следующий:
Со стороны глядючи, такое представление вроде как и попроще будет, согласен. Однако, по-видимому именно игра с модулями непрерывности привела Олега Владимировича Бесова сотоварищи к созданию одноименной шкалы пространств.

Пространства эти находят массу различных применений, в частности, в явном виде указывая критерий разрешимости краевой задачи Дирихле для эллиптических операторов второго порядка.

В отдаленном светлом будущем я рассчитываю поговорить о пространствах Бесова детально и предметно.
Продолжение следует!



  • 1

Наука: Дайджест

Пользователь lj_editor сослался на вашу запись в записи «Наука: Дайджест» в контексте: [...] однако же кое-что интересное извлечь из него можно." Еще о пространствах в музыке формул. [...]

модуль непрерывности

Подскажите - где можно найти внятную информацию о модуле непрерывности сложной функции? Заранее спасибо.

Re: модуль непрерывности

Вас вот это свойство интересует?


(Здесь )

Спасибо большое!

Edited at 2015-05-04 11:09 am (UTC)

  • 1
?

Log in

No account? Create an account