Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
О нулевой производной.
ahiin
Вспомнился тут еще один вопросик из набора мелких глумливых подколок.

Всем хорошо известно, что производная постоянной величины равна нулю:
.
Это тупо из определения производной следует и думать тут не о чем.

Однако, есть и очень часто используется обратное утверждение. Настолько часто, что к нему просто все привыкли.

Внимание, вопрос!
Откуда строго следует, что если на , то на ?

  • 1
Из аксиомы Архимеда. Для функций неархимедовых аргументов это свойство не верно.

Отличный ответ:)
Но вообще, подразумевалась, ессесно, функция вещественного аргумента, т.е. аксиому Архимеда считаем выполненной.

Точнее все-таки требуется связность отрезка (в частности полнота), неархимедовости самой по себе может еще не хватить. Впрочем для p-вдики безусловно любой отрезок нигде не связан

Вроде как из определения производной и доказательства от противного.

Если правильно помню название, то из теоремы Лагранжа.

Стукнул раз - специалист, видно по нему.(с)

Именно так.

надо же.
смысл теоремы помню - а название угадал :-)

Ну из определения же.
f'(x) = lim([f(x+dx) - f(x)]/dx) = 0 => f(x+dx) - f(x) = 0. => f(x+dx) = f(x) => f(x) = const.


Edited at 2013-04-15 05:14 am (UTC)

Неправда ваша. Из приведенных рассуждений следует непрерывность f(x) и не более того.

Предположим что f(x) на отрезке [ab] не константа, при том что производная везде равна нулю.
Тогда найдется такая x0 , что для любого dx (больше нуля, но меньше эпсилона, из непрерывности) f(x0+dx) - f(x0) != 0
В этом случае f'(x0) (из определения) будет не равна нулю.
Противоречие, чтд.

Не?

Edited at 2013-04-15 07:07 am (UTC)

Не-а.
Подставляем в рассуждение функцию в точке и убеждаемся, что таки .

Секундочку. В исходных данных производная на отрезке [ab] равна нулю. Какой отрезок мы берем, подставляя в рассуждение функцию x2?

Для демонстрации простой мысли, что для равенства нулю производной вовсе не требуется .
Уехал по делам, в следующий раз смогу ответить не раньше чем через 2-3 часа.

Согласен.

Тогда если на отрезке [ab] f'(x) в каждой точке равна нулю, то ни в одной точке f(x) не возрастает и не убывает => f(x) равна константе.

Единственно, не помню, нужно ли дополнительно доказывать что если производная равна нулю, то функция не убывает и не возрастает.

Идея рассуждения, что если функция - не константа, мы найдем точку где производная не равна нулю.
Сейчас попробую более формально описать.

Пусть f'(x) = 0, но f(x) != C => существуют такие x1, x2 что функция монотонно возрастает (убывает) на отрезке (x1, x2) [из непрерывности]. В этом случае f'(x) на этом отрезке будет больше (меньше) нуля.
Противоречие, чтд?

Скажем так, этим путем уже можно пройти до конца.
Если подходит строго, то можно начать с того, что непрерывная функция достигает на отрезке своего минимума и максимума (теорема Вейерштрасса). Если функция не равна тождественно нулю - то и при каком-то получится .
Но есть одно "но":) Строго доказать существование такой точки, не используя теорему Лагранжа очень не просто (хотя, не исключаю, что и возможно).
Если же теорему Лагранжа использовать, то все это не нужно. То что функция будет рана константе - следует из этой теоремы напрямую.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account