Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
О диагонали квадрата.
ahiin
Неприятности у пифагорейцев начались далеко не сразу.

Основанная Пифагором научная школа в итоге кончила плохо, но сегодняшний рассказ не о том бодром погроме, который был учинен над пифагорейцами благодарным за просвещение народом, а в большей степени о духовных перипетиях.

Термин "научная школа" по отношению к организации, основанной Пифагором, является эдаким эвфемизмом. Здраво взглянув на ее структуру и применяемые технологии, пифагореизм следует смело отнести к тоталитарным культам, что было вполне в духе времени (впрочем, это всегда в духе времени, вечная классика). Наличествовало и разделение на степени посвящения, и сложная система ритуалов и запретов (например, общеизвестные, вроде "не есть бобов" или "не откусывать от целой булки"), и сложное философское вероучение и тому подобное. В общем, привет Рону Хаббарду, ничто не ново под Луной.

Как видите, при жизни Пифагора его "школа" была солидным предприятием, к тому же обладающим значительным и все время растущим политическим влиянием.

Вообще, философия Пифагора оказала значительное влияние на западную культуру (и на нас в том числе). Многие идеи нашли свое развитие в классической греческой философии, а уже про теорему Пифагора знают вообще все.
Выражение "гармония сфер", кстати, также восходит к пифагорейцам.

Одним из существенных элементов их философии была идея, что любое число можно представить как отношение двух целых чисел, то бишь в виде простой дроби. В этом они, в том числе, видели совершенство природы числа. Больше того, это представлялось вполне очевидным. В современной математике такие числа называются рациональными, а их множество обозначается знаком .

Сделайте теперь паузу на несколько секунд, задумайтесь, откуда вообще следует, что это не так? Можете ли вы привести аргумент, который был бы достаточно убедителен для древнего грека? Ну или, хотя бы, достаточно убедителен для себя самого?

В общем, мир чисел был прост, изящен, и все были довольны.

Источником возникших неприятностей, неожиданно, стала уже помянутая теорема, носящая имя Пифагора: одно из важнейших, дошедших до нас, его достижений.

К сожалению, доказательство самого Пифагора нам неизвестно. Самое старое из дошедших до нас - приведено в "Началах" Евклида и датируется 3 в. д.н.э. Напомню, сам Пифагор жил в 6 в. д.н.э.

Фрагмент из Vatican Manuscript Number 190, датируемого 10 в. н.э. (целиком здесь):
_math01

Доказательство Евклида далеко не самое простое, однако есть основания считать, что он знал путь и попроще, но из методических соображений привел именно этот вариант, так как он демонстрирует, помимо собственно теоремы Пифагора и некоторые другие интересные идеи.

Однако, вернемся к пифагорейцам.

Вот представьте себе простейшую вещь: квадрат со сторонами единичной длины. Если обозначить длину его диагонали , то по теореме Пифагора получим:
и, соответственно:
Само-то по себе это еще не проблема. С точки зрения пифагорейцев, дальше просто нужно было найти целые числа и , такие что
Вот на этом-то "простом" моменте все и застопорилось.  Причем наглухо. Стопор сей продолжался до тех пор, пока один умник (как утверждают, Гиппас из Метапонта, тоже пифагореец), не доказал, внезапно, что таких чисел не существует. Все зло от шибко умных идет, как известно. По легенде, это научное достижение столь потрясло коллег, что, в ознаменование признания научных заслуг, Гиппаса не медля вышвырнули за борт корабля, на котором он в момент своего математического озарения плыл. Нечего было гадить уважаемым людям, подрывать основы столь любовно выпестованной и весьма доходной философской системы.

Ныне, числа не представимые в виде отношения двух целых, называются иррациональными.

Некоторое время пифагорейцы даже держали факт иррациональности в секрете. Однако, шила в мешке не утаишь, и правда довольно быстро (по историческим меркам) нашла путь наружу.

Доказать иррациональность совсем не сложно.
Пусть существуют такие , что
Более того, будем считать, что хотя бы одно из чисел - нечетно. Если это не так, числитель и знаменатель дроби всегда можно сократить на 2 (нужное количество раз).
Тогда получим:
отсюда:
Таким образом, - четное число (делится без остатка на 2). Но тогда и - четное.

[С чего вдруг?]
Квадрат нечетного числа - так же нечетное число.
Любое нечетное число, очевидно, можно представить в виде , где - целое.
Квадрат нечетного числа тогда:

То бишь - нечетное число.


По условию нечетности хотя бы одного из чисел , получим, что - нечетно.
В силу четности , можно записать
,
где - некоторое целое.
Но тогда:
отсюда
Но это означает, что - четно, а значит четно и . Противоречие.

Число невозможно представить в виде отношения двух целых чисел.

Остается добавить, что - это вовсе не какой-то странный уродец. Можно показать, что иррациональных чисел больше, чем рациональных. Более того, их гораздо больше, принципиально больше. Почти все (да, это строгий математический термин) вещественные числа - иррациональны.

  • 1
Очень хорошо, только вычитать надо, а то тавтология есть, пунктуация кое-где.

Ты бы пальцем ткнул, а то у меня уже глаз замылен.

Ну началось...

>>>В этом, они, в том числе, видели совершенство природы числа.
Перед "они" запятая не нужна.

>>>Источником возникших неприятностей, неожиданно, стала уже помянутая теорема, носящая имя Пифагора - одно из важнейших, дошедших до нас, его достижений.
Следует: "Источником возникших неприятностей неожиданно стала уже помянутая теорема, носящая имя Пифагора - одно из важнейших дошедших до нас его достижений"

>>>Самое старое из дошедших до нас - приведено в "Началах" Евклида...
Лучше без тире.

>>>...так как он демонстрирует, помимо, собственно теоремы Пифагора и некоторые другие интересные идеи.
Следует: "...так как он демонстрирует, помимо собственно теоремы Пифагора, и некоторые другие интересные идеи."

>>>Ныне, числа не представимые в виде отношения двух целых, называются ныне иррациональными.
Тавтология, стилистика.

Можно к стилистике долго придираться, но у тебя не журнальная статья всё-таки.

Спасибо.

Была б журнальная, тогда специально обученный человек на зарплате занимался бы придирками.

Придирками рецензенты занимаются забесплатно, из чистой люби к искусству))))

Это смотря где.

С удовольствием прочитала!
Подпишусь-ка я на Ваши обновления. Может быть, сама умнее стану =)

Добро пожаловать!

Все еще хуже почти все числа трасцендентны (то есть не являются корнями уравнений с целочисленными коэффициентами типа x^2=2), но трасндетных чисел на сегодняшний день известно очень мало :(

Это да.
Но про трансцендентные числа впору еще пост писать. А то и не один.

А напишите, пожалуйста.

Хорошо:)
Но скоро - не обещаю.

Могу предложить еще одно продолжение темы: "Почему Архимед не открыл число пи?" Про исчисление песчинок, египетские дроби и т.д. Было бы очень интересно.

Недавно начал Вас читать. До чего же вкусно!
Спасибо Вам!

Доброе слово и кошке приятно, спасибо:)

Можно ли говорить, что несчетное множество БОЛЬШЕ счетного?

В терминах "А содержит некоторую часть, эквивалентную В, но в В нет
части, эквивалентной А" — почему нет.

Я, может, забыл, но как выделить среди иррациональных чисел часть, эквивалентную рациональным?

Конкретный способ не так уж и важен. Возьмите любое счетное подмножество. Тот же

Да, действительно.

или я туплю или...

в формуле после слов "Квадрат нечетного числа тогда:" знак не потерялся? при 2n?

Да, спасибо. Минус должон быть.

После четырех лет размышлений:) нашел что еще сказать. Основная проблема греков была не в том что рациональные числа совершенны. А в том что других чисел для них не было, ввиду использовавшейся тогда системы исчисления. Да и рациональные числа существовали не все. Только египетские дроби и их суммы. Так что часть перипатетиков смело утверждала: у квадрата диагонали нет! Ну в смысле числа нет так и диагонали тоже нет.

Из-за вот этого увлечения точными построениями, геки, по-видимому, промахнулись мимо концепции действительного числа и анализа. Архимед за всех не потянул.

Ну Евдокс Книдский и Гиппарх кое что в анализе немаленькое сделали. И занимались в том числе приближенными вычислениями. Но самим понятием числа озаботился только Архимед. Я так понимаю, что активное применение рычага показало ему недостаточность аликвотных дробей. Жаль, что до позиционной системы исчисления не додумался :(

  • 1
?

Log in

No account? Create an account