Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Об умножении на ноль.
ahiin
В бытность мою практикующим, так сказать, преподавателем, любил я задать своим студентам простой вопрос:
А откуда вообще следует, что
Ну то есть, почему умножение любого числа на ноль дает ноль?

Незабываемо прекрасным было выражение одухотворенных лиц представителей будущей интеллектуальной элиты.

Нечто подобное мне удалось повидать лишь годы спустя, в Голландии:
stare

Не, я конечно понимаю, что всем нам это в юности в школе сказали, в том нежном возрасте, когда добрая природа подавляет критическое восприятие действительности, упрощая обучение. Однако же, студенты 4-го курса таки, будущие "прафисианальные" математики.

Вообще, по определению:

Это все. Если к числу прибавить ноль, получим то же самое число. Никакого умножения в определении. Никаких свойств, связанных с умножением в определении не декларируется. Ежели кто подумал, не метнуться ли резко на Википедию, то предлагаю расслабиться: в статье про ноль, как, впрочем и по всей Википедиии, херня и годная информация экстатически слились неразделимо.

Ежели вернуться к исходному вопросу, то правильный ответ таков:"Это следует из соответствующего доказательства".

Вот оно (спасибо bortans):

Вычитая из правой и левой части, имеем:


В этом невинном, на первый взгляд, доказательстве далеко не все просто. В процессе выкладок использован целый ряд неочевидных свойств чисел и операций над ними. Это и существование у каждого числа обратного ему относительно операции сложения, и дистрибутивность операций сложения и умножения.

Как это часто бывает в математике, за простым, даже тривиальным вопросом нередко отверзаются бездны.

Остается добавить, что систематическая аксиоматика арифметики была закончена итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в последние годы 19-го века. Более того, непротиворечивость аксиоматики Пеано была показана Герхардом Генценом лишь 1936 году. Арифметики. В 1936.

Как-нибудь надо будет рассказать, как пифагорейцев, которым тоже было "все и так понятно", обломала диагональ квадрата.

  • 1
Какая прелесть! Сравнивать с ней наших студней, как минимум, некорректо:)))

А почему сейчас не практикуешь преподавание? Видно же, что хорошо получается:))))

Да все как обычно, "внезапно" понадобилось зарабатывать деньги, а зарплата старшего преподавателя провинциального вуза (пусть и с перспективой скорейшего перехода в доценты), она такая... субтильная.

Лея это объяснила еще год назад: мы ни разу не берем яблоко. Или ни разу не берем два яблока. Так что у нас нет ничего.
Она вообще ноль любит, говорит, я съела ноль завтраков, мать, корми :-)

Для ребенка это более, более чем удовлетворительное объяснение.
Но, как видишь, есть нюансы:)

В Бразилии (по крайней мере, у нас в универе) на прекалкулусе принято мучить студентов такими доказательствами. Они офигевают, но никуда не деваются :)

Все еще хуже, чем кажется на первый взгляд.
На нашей специальности все эти красоты изучаются в третьем семестре (то бишь начало 2-го курса), в рамках общей теории групп, колец и т.д.

И они же, приходя на 4-м курсе ко мне, вот так на мелкие подколки реагировали.

Вспомнил, кстати, что из подобного рода упражнений, самым сложным (у нас, по крайней мере) для студентов было доказать, что 1>0. Редко кто справляется с этим самостоятельно...

Ну так все эти кольца, поля, многочлены тогда же и забываются.

Можно примерно так:

Все эти неестественные числа придумали чтоб уравнения решать.

Это значит, что и с неестественными числами должны выполнятся всякие там правила раскрытия скобок. Следовательно ...

А почему нельзя так:



?

Re: А почему нельзя так:

Вполне, кстати, можно.
Просто, приведенный вариант (исправленный) годен для любого кольца, не только для целых чисел.

Интересно. Если честно, тоже никогда не задумывалась над этим вопросом. Если бы присутствовала в качестве студента на лекции и получила бы такой вопрос - выглядела бы как животное на фотографии =))

Интересно.
А почему нельзя возразить этим:
если 0 = а · 0, то 0 = а : 0 или а = 0 : 0?

Edited at 2017-07-19 06:43 am (UTC)

Подобные выкладки неявно подразумевают, что операция деления (как обратная умножению) — всегда определена.
Это ниоткуда не следует и, вообще говоря, неверно, т.к. деление на ноль неопределено.

Спасибо. Это ещё интересней. Но тогда можно ещё спросить?
Вы хотите сказать, что моё возражение не вытекает прямо из условия задачи: верно ли равенство 0 = а · 0?

  • 1
?

Log in

No account? Create an account