Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч.1.
ahiin
После публикации поста "О планете Нибиру" отдельные граждане выразили пожелание узнать поподробнее, что и как считал Урбан Леверье сотоварищи, охотясь за неизвестной тогда планетой Нептун.



Сначала мне показалось, что можно по-быстрому накидать четыре абзаца вместо одного в старом посте, но фокус не удался. Тема распухла настолько, что пришлось делить на две части.
Делать - так по-большому!

Сегодня, в первой части, я расскажу о математическом методе, которым пользовался Леверье в своих расчетах. Ну, расскажу - это громко сказано. Обрисую в общих чертах - так точнее. Тем не менее, с практическим примером.


Так вот, Леверье открыл Нептун "на кончике пера" используя так называемую теорию возмущений. Она, вообще, очень много где применяется, в частности, и в особенности, в квантовой механике.

Идея заключается в следующем:
Допустим, мы исследуем некоторый физический процесс, описываемый, скажем, уравнением
Сейчас совершенно неважно, что такое - это может быть функция, дифференциальный оператор, функционал - что угодно (я и еще много других страшных слов знаю, ага).
Пусть у нас есть точное решение некоторого упрощенного уравнения (которое "легко" решается), но при этом "близкого" к нашему исходному.
Обозначим его его решение -

Иногда оказывается возможным представить решение сложного уравнения, как "возмущение" простого, в виде суммы по степеням "малого" параметра (параметра возмущения):



преобразовывается  к виду ,  так, что .

Понятно, что если приравнять малый параметр к нулю, то просто получится "невозмущенное" уравнение.
Обычно (хотя и далеко не всегда), для получения таких "возмущенных" представлений используются разные сильные колдунства, по типу рядов Тейлора.

Для применимости теории возмущений "малость" параметра крайне важна, и даже критична.  Когда он реально маленький, то можно сделать резкий финт ушами и громко заявить: вклад степеней параметра выше первой ничтожно мал, мы их выкидываем (кстати, предлагаю желающим подумать: а, собственно, почему?), а наше "возмущенное" решение теперь имеет куда более удобоваримый вид:

В таком случае с уравнением обычно бороться куда проще.
Немаловажно, к тому же, что описанный шулерский прием можно применять последовательно несколько раз, принимая найденное "возмущенное" решение за новое "простое".

Однако, все вышесказанное - это пока разговоры в пользу бедных. Пора переходить к реальным делам.
В качестве практического примера (о-очень простого), я научу вас одному из способов вычисления арифметического квадратного корня без калькулятора. Не планетарная орбита, конечно, приходится быть скромнее.
(Ну, без фанатизма и мазохизма все же, пусть калькулятор будет под рукой. Просто пользоваться будем только четырьмя арифметическими действиями, которые, в принципе, можно выполнить на бумаге в столбик. Тру-реконструкторы, понятно, руки после такого не подадут.)

Очевидно, задача нахождения   эквивалентна нахождению положительного решения уравнения
Вычислим для примера ли, что тоже самое, решим уравнение

Так как число 8 близко к 9, а корень из него нам (я надеюсь) известен, то в качестве "невозмущенного" уравнения возьмем
Имеем:
Или:
Отбрасываем член высшего порядка малости , получаем:
Отсюда:
Таким образом, приближенно:
Сравните с точным значением:
Между прочим, 3 верных значащих цифры, а начинали-то с одной!

Нанести, смыть, повторить...
Повторим трюк еще раз:

Можете поверить мне на слово, а лучше проверьте, что новое приближение равно:

Сравните с точным значением:
Теперь верных значащих цифр уже 5! Вполне достаточно, между прочим, для большинства практических приложений.

В следующей части мы обсудим, как Леверье воспользовался теорией возмущений для поисков планеты Нептун. 
Продолжение.


PS. Тилацин ни в чем не виноват, это просто одна из первых картинок, которые выдает Google по запросу "Леверье охотится на планету Нептун".
[Честно-честно!]
Thylacine



  • 1

Вроде бы тоже люблю математику, а как Архимед вычислял число пи на абаке до сих пор не знаю.

Как предел периметра вписанного в окружность правильного многоугольника.

Основное затруднение: как получить конкретное число. Пошаговый алгоритм для получения всё большего числа значащих цифр ПИ.

Теорему Пифагора принимать применять не пробовали? Подсказка: число вершин многоугольника - геометрическая прогрессия со знаменателем 2.

Спасибо, пифагореец!


Re: Спасибо, пифагореец!

Эта шутка содержит в себе некоторое разумное зерно. и если в случае с кривой проблема решается тривиально, то уже в случае поверхностей все становится далеко не просто.

нашёл на английском:

http://www.jimloy.com/geometry/pi.htm

How did Archimedes estimate pi? The following is a rough approximation of his method. In the diagram on the left, I have drawn one side (with length x) of a polygon inscribed in a circle with radius of 1/2. Then I double the number of sides, producing sides of length y. What is y in terms of x? Application of The Pythagorean Theorem, leads to y=sqrt(1/2-sqrt(1-x)/2). If we start with a hexagon, then x=1/2, and pi is approximated by 6x. I will then use a computer to calculate y, producing a dodecagon (12-gon). Pi is then approximated by 12y. Then y becomes my next x, and I can double the number of sides again, approximating pi with 24y. Archimedes was satisfied with a 96-gon.

Re: нашёл на английском:

Лудольф пошел гораздо дальше тем же путем. Правда и грохнул на это большую часть своей жизни.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D0%BD,_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84

О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч

Пользователь gekkon12 сослался на вашу запись в записи «О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч.1.» в контексте: [...] Оригинал взят у в О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч.1. [...]

О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч

Пользователь gekkon12 сослался на вашу запись в записи «О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений. Ч.2.» в контексте: [...] лжение. Первая часть здесь. [...]

Лучшие научные блоги– 2013: оценивали известные научные

Пользователь pismadljaliz сослался на вашу запись в записи «Лучшие научные блоги– 2013: оценивали известные научные блогеры и журналисты, читатели сайта STRF.ru» в контексте: [...] o; 89,3 16 2 «О планете Нептун, Урбане Леверье и теории возмущений [...]

  • 1
?

Log in

No account? Create an account