Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Формула Эйлера, том I
ahiin
Перед чтением данного поста, рекомендую ознакомиться (кто еще не) с моей старой публикацией о возникновении комплексных чисел.

Сегодня речь пойдет о знаменитой форумуле Эйлера:



которая при превращается в еще более знаменитое тождество Эйлера:




Очевидно, что проблема вышепреведенной формулы распадается для широкой публики на две проблемы поменьше:
1. Экспонента от комплексного числа? ШТА?
2. Вывод формулы Эйлера.
На самом деле, эти пункты глубоко взаимосвязаны, но с текущей позиции это еще не очень хорошо видно. Понятно, что в первую очередь придется заняться п.1.

Мне представляется, что отсутствие внятного объяснения, какой смысл придается компонентам формулы и порождает неадекватное восприятие вышепреведенных соотношений. С точки зрения человека, прожившего всю свою счастливую жизнь на вещественной прямой, экспонента комлексного числа закономерно выглядит болезненным бредом. Наличие в анамнезе курса ТФКП помогает, кстати, не всегда, ибо мой препод, например, эту проблему в свое время обсуждать не стал и тупо предложил воспринимать элементарные функции комплексного аргумента как данность.

Итак, нашей первостепенной задачей станет распространнение действия экспоненты (а равно синусов и косинусов) на комплексные числа. По умному если, это называется продолжением функции в комплексную плоскость. При этом, абы каких продолжений можно придумать массу, но хотелось бы, чтобы результат был максимально похож по свойствам на исходную функцию. Добиться означенной цели возможно разными способами, я предлагаю пройтись простым и лобовым путем, которым в свое время воспользовался Леонард Эйлер.

Та как с экспоентой все сложно (на самом деле нет), давайте сначала поглядим на семейство функций, продолжение которых в комплексную плоскость естественно, как крик боли. Это, разумеется, полиномы, они же многочлены, они же функции следующего вида:
— некоторые константы. Таким образом, полиномы — это все функции, которые можно получить, применяя конечное число раз операции сложения и умножения. Так как для тех, кто читал предыдущий мой опус, сложение и умножение комплексных чисел не представляет никакой сложности, то полиномы продолжаются в комплексную плоскость очень просто:
Что немаловажно, удобные нам свойства продолженных таким образом полиномов полностью сохраняются, в частности, они по прежнему дифференцируемы в любой точке с легкостью (и производная получается по тем же формулам, что и на вещественной прямой).

Как жаль, что экспонента не является полиномом! Или является? Здесь я (ехидно) предлагаю присутствующим остановиться и задуматься, откуда вообще следует (или не следует), что экспоненциальная функция непредставима в виде полинома?

.
.
.

Напоминаю, что производные экспоненты равны ей самой
6
а также, что

То, что экспонента не является полиномом, покажем способом, полезным для дальнейшего. Пускай уж существует такой полином, что
тогда при x=0 получим:

Далее
7
в нуле имеем
8

далее
10
в нуле
11

Искренне надеюсь, что хохму уже все уловили, поэтому сразу напишу

И все бы хорошо, но вот незадача, следующая, n+1 производная нашего полинома будет равна тождественному нулю, а вот экспонента останется экспонентой. Не получается, как ни крути, экспонента полиномом.

Отринем, однако же, грусть и поглядим поближе на получающиеся полиномы для разных n:



...

и так далее.

Наглядевшись, давайте возьмем и сравним их графики с графиком экспоненты (красная кривая):
exp_graph


Ход мысли уже должен быть ясен.

Продолжение следует.

  • 1
Здравствуйте! Ваша запись попала в топ-25 популярных записей LiveJournal северного региона. Подробнее о рейтинге читайте в Справке.

Райское наслаждение!!!

Походу формул многовато, люди пугаются формул.

Не много, а в самый раз! Студенты мои, естественно, такое читать не будут из-за формул, но ни вообще ничего не читают, в пень их)))

Думал, сейчас откровение прочитаю, а вы про ряды-ы-ы.
Была у нас ТФКП, но я ее, кажется, прогулял :((
Жду продолжения!

Ну, во-первых, можно и без рядов, но выйдет заметно жесче, я такое нематематикам рассказывать пока не готов.
Во-вторых, ряд-это же круто, на самом деле. Наигравшись с комплексными числами, туда можно засунуть всякого, например матрицу, и играться дальше)

Да вот, если я соберусь писать пособие по ТФКП, надо будет автора в соавторы пригласить:)) Янек, хочешь?

Это сколько угодно)

Давайте, братцы. Буду читать с удовольствием. Вы спецы, вам и карты в руки, а мне пока институтскихзнаний хватает, чтобы понимать.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account