Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Задачка на бегу.
ahiin
В связи с прибытием в родные пенаты после длительного отсутствия, имеет место своеобычный завал.
Но одну простую задачку я все же вам подкину.

На двумерной плоскости задана вещественнозначная функция. Известно, что среднее арифметическое ее значений, взятых в вершинах всякого, произвольного, квадрата на плоскости, равно нулю. Никакие ее другие свойства неизвестны.

Найдите все такие функции.

Иллюстрация к задаче:

Казимир Малевич, «Женщина в двух измерениях».

Комментарии как обычно скрыты, решение через несколько дней.

Решение.

  • 1

к родным пенатам

Пена́ты (лат. Di Penates, Penates) — в древнеримской мифологии боги-хранители и покровители домашнего очага

Берем четыре смежных квадрата (внутри одного произвольного, ага), значения в вершинах:
a b c

d e f

g h i

a+b=-d-e=g+h; аналогично b+c=h+i; вычитаем одно из другого чтобы избавиться от средних вершин:
a-c = g-i; помним, что a+c = -g-i; вычитанием и сложением уравнений получаем:
2a = -2i;
-2c = 2g; - соотношение для диагональных значений произвольного квадрата. Получаем, что:
-e = a, -e = i, но a = -i, значит они все тут равны нулю.

Тривиальный случай - функция
z=0 :)
Но вряд ли здесь имеется в виду она, иначе слишком просто.

Докозательство того, что других решений, кроме z=0 нет :)

Прежде всего - будем говорить не о средних значениях, а о суммах - если первые равны 0, то и вторые тоже.
Нет под рукой инструмента нарисовать иллюстрацию, потому буду описывать текстом - для обозначения точек буду использовать цифры с цифровой клавиатуры :) так их взаимное расположение будет наочнее.

Докажем лемму, что если исходная предпосылка верна, то значение функции в центре произвольного квадрата должна быть 0.

Возьмем произвольный квадрат 1-7-9-3 на плоскости. По условию сумма значения функций в этих точках равна 0.
Поделим его на 4 квадрата
1-4-5-2
4-7-8-5
5-8-9-6
2-5-6-3

сумма значений в каждом из маленьких квадратов тоже 0, значит и если их все сложить - тоже будет 0.

в полученной сумме значения точек
1-7-9-3 использованы 1 раз
4-8-6-2 использованы 2 раза
5 использовано 4 раза.
1-7-9-3 составляет исходный квадрат, а 4-8-6-2 - тоже квадрат повернутый на 45 градусов, а значет сумма его тоже 0 по исходному условию. Таким образом значение в точке 5 (центр исходного произвольного квадрата) должно быть 0. Лемма доказана.

Ну а переход от лемме к требуемому доказательству тривиален.
Любую точку на плоскости можно представить как центр какого-то квадрата и по утверждению леммы значение в нем должно быть 0.
Значит единственное решение удовлетворяющее исходному условию z=0

Edited at 2014-11-21 10:31 pm (UTC)

Ответ: f( x, y) = 0;

Решение:

1. Рассмотрим 9 маленьких квадратиков (образующих в итоге большой квадрат со стороной в 3 раза большей).

2. Там будет:
- 12 вершин.
- 14 квадратов, построенных на вершинах (9 "единичных", 4 "двойных", 1 "тройной")

3. Записав уравнение (14 уравнений с 12 переменными), решив получим, что значения всех вершин тождественны и равны 0.

П.С.
честно говоря сам не решал, уверенность есть (тем более, если рассмотреть 16, 25.... квадратов, понятно что будет).

Re: Ответ: f( x, y) = 0;

"14 уравнений с 12 переменными"
Уравнения могут быть линейно связаны, это не доказательство.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account