Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Неконструктивное доказательство.
ahiin
Играясь с иррациональными числами, можно задаться вопросом: а существуют ли два иррациональных числа и , таких, что число , то есть является рациональным?

Все те же лица, плюс птички:
birds

Ответ на поставленный вопрос положительный, причем этому факту есть простое и изящное доказательство.

Теорема.
Существуют такие иррациональные и , что .

Доказательство.
Мы знаем, что число — иррационально. Положим Возможны два варианта: либо рационально, и тогда теорема доказано, либо иррационально. Но тогда
Теорема доказана.

Забавно, что доказательство не позволяет дать ответ на вопрос какие две пары иррациональных чисел удовлетворяют условию теоремы. Сейчас уже известно, что — иррационально, то есть искомая пара это и . Однако, доказать иррациональность оказывается очень непросто. Этот факт следует из теоремы Гельфонда-Шнайдера, доказанной в 1934 (sic!) году советским математиком Александром Гельфондом и, независимо, в 1935 году немецким математиком Теодором Шнайдером,

А вообще, теорема Гельфонда-Шнайдера является решением 7-й проблемы Гильберта, на минуточку.

Остается лишь отметить, что опираясь на существование трансцендентных чисел, можно достаточно легко строить в явном виде иррациональные числа и , такие, что . Однако, это уже совсем другая история.

UPD. В качестве упражнения, попробуйте доказать иррациональность числа . Тогда



  • 1
\sqrt{2}^(2\log_2 3)=3

А вдруг логарифм рациональный?

Ага. Сам догадался.

Я уже было собрался писать доказательство:)

Благоговейно восхищаюсь таким френдом))) А доказательство пиши!

Да там делов-то.
Все сводится в итоге к тому что равенство невозможно, потому что слева четное число, а справа - нечетное.

Насколько я понимаю, доказательство достаточно простое.

Предположим, что log_2 3 - рационально. Значит, оно представимо в виде отношения двух натуральных чисел n и m: log_2 3 = n/m. Следовательно, по определению логарифма: 3 = 2^(n/m). Т.е. 3^m = 2^n. Но двойка в любой натуральной степени дает четное число, а тройка - нечетное. Получаем противоречие.

Да, красиво.

А как вы формулы вставляете?

Отлично! Спасибо за поддержку )

  • 1
?

Log in

No account? Create an account