Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Новая задачка на выходные.
ahiin
Постройте на числовой оси три открытых непересекающихся множества, имеющих одну и ту же непустую границу.

Топология стандартная, евклидова, то есть определение открытого множества ровно такое, как учили в курсе матанализа/высшей математики.

Комментарии, как всегда, скрыты. Решение через несколько дней (но не раньше вторника). Решение.

  • 1
Например, такие три:
- множество рациональных чисел на (0;1),
- множество иррациональных чисел на (0;1),
- множество действительных чисел на (1;2).

Они все открытые (если одно число входит в множество, всегда найдется ε-окрестность, которая тоже входит в него), не пересекаются (если число принадлежит одному множеству, то не принадлежит другим) и имеют общую границу - число 1.

Если я правильно помню все определения, то подойдут последовательности, напирмер такие:
первая (1/2)^n
вторая (1/3)^n
третья -(1/2)^n

Единственное, что приходит в голову:

Три пустых множества (пустое мн-во открытое и закрытое одновременно; граница каждого из них -- тоже пустое мноежство).

П.С.
я только не помню, пустое множество равно самому себе или нет.

Может, я опять чего-то недопонимаю, но разве "одно - налево, одно - направо, одно - пустое" не решение?

Граница - канторово множество.
Множества A, B, C получаются при конструировании канторова множества - на первой итерации вырезается средний интервал, он помечается как входящий в А, на второй итерации вырезается 2 интервала, помечаются как В, на 3-й итерации 4 интервала С, на следующей итерации снова А.
В троичной записи:
А - множество чисел от 0 до 1, на 1, 4, 7, 10... позиции стоит первая "1"
В - множество чисел от 0 до 1, на 2, 5, 8, 11... позиции стоит первая "1"
С - множество чисел от 0 до 1, на 3, 6, 9, 12... позиции стоит первая "1".
(множество чисел, в которых так ни одной "1" не обнаружилось в троичной записи соответственно канторово и есть)

Состоят из интервалов, нигде не пересекаются, граница непустая и общая. Вроде все соблюдено...

Edited at 2014-09-17 05:01 am (UTC)

Единственно, что граница - это часть Канторова множества, не все.

Извините, сразу не додумался

Ответ такой:

I. самое простое, с границей состоящей из 2 точек (для определённости a < b):
1. (-oo, a) U (a, +b)
2. (-a; +b)
3. (-a, +b) U (+b, +oo)
// тут oo -- обозначение бесконечности



II. Без лучей чуть длиннее, граница минимум 6 точек (для определённости v < u < a < b < x < y):
1. (v, u) U (u, a) U (a, b) U (x, y)
2. (v, u) U (a, b) U (x, y)
3. (v, u) U (a, b) U (b, x) U (x, y)


III. Общий случай сколько угодно точек (для определённости: для любых i j; i < j => n(i) < n(j)):
разобьём на интервалы:
n0 - n1 - n2 - n3 - n4 - .... -n(x)

1. Граничные интервалы: (n0, n1), (n(x-1), n(x))
2. Чётные интервалы: (n(i), n(i+1)), i - чётное
3. Нечётные интервалы: (n(i), n(i+1)), i - нечётные.

4 Любое мн-во, включающее:
- граничные интервалы U все чётные интревалы U любое подмножество нечётных интервалов
- граничные интервалы U все нечётные интервалы U любое подмножество чётных интервалов

будет иметь границу, состоящую из всех точек n: n0..n(x).


П.С.
отредактировал, т.к. в исходной версии отступы в "поползли".

Edited at 2014-09-16 09:50 am (UTC)

  • 1
?

Log in

No account? Create an account