Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Задачка на всю следующую неделю.
ahiin
Пусть — число различных целочисленных решений неравенства

Найти предел

Целая неделя на поиск решений отводится не потому, что задачка какая-то архисложная, а лишь по причине моего завтрашнего отбытия в безынтернетье. Если и появлюсь в сети, то лишь мельком.

Комментарии до публикации решения, как всегда, скрываю.
Ответ.

  • 1

площадь эллипса

ищем?

бесконечность.

Основной член будет: сигма(n) =
4/3 * n^(3/2), если x,y -- целое.
1/3 * n^(3/2), если x,y -- натуральное.


Остальные при пределе сократятся.


П.С.
решение такое (для определённости будем решать в натуральных числах, т.к. в целых появится дополнительный младший (по степени n) член из-за несемметричного 0.

сигма(n) = СУММА[1; ЦЕЛОЕ(n^0.5)] ( ЦЕЛОЕ(0.5*(n-x^2)) ).
Ограничим сигма(n) сверху и снизу интегралами:

ИНТЕГРАЛ[1; n^0.5-1] 0.5*(n-(x+1)^2) dx <= сигма(n) <= ИНТЕГРАЛ[1; n^0.5] 0.5*(n-x^2)dx;

Старший (по степени) член обоих интегралов 1/3 * n^(3/2).
В результате предел (формально там надо правило Лапиталя применить) будет:

1/3 lim(n^3/2) / lim(n) = бесконечность.

Edited at 2014-07-25 11:44 am (UTC)

пипополам. поскольку понятие площади для эллипса еще никто не отменял...

Геометрическое решение

Возможно опять спешу, но... идея красивая, а сам тоже через пару часов уезжаю.
Ответ, насколько я прикинул, пи/2.
Решение.
При r = sqrt(n) это количество "целых точек" внутри эллипса с полуосями
r (по оси х) и 0.5r (по оси y).
то есть, при больших n, это просто площадь данного эллипса, равная пи на произведение полуосей.
(пи * sqrt(n) * 0.5 *sqrt(n)) / n = пи / 2

Предел конечного числа на бесконечность как бы ноль наверное

Ну, можно попытаться рассмотреть неравенство как внутренность эллипса с полуосями и .
Тогда уже есть ни что иное, как количество точек с целочисленными координатами, попавшими в него. Ну можно ещё учесть, что площадь равна
... Надо ещё чуть покрутить, но времени увы сейчас нет. :(

Разделив обе части уравнения на n (мы можем это сделать, т.к. n стремится к бесконечности и "0" - точка исключения, которой можно пренебречь), мы получим неравенство в форме канонического уравнения эллипса: x2/n + 4y2/n <= 1
Область всех возможных решений лежит внутри эллипса.
Соответственно оси у этого эллипса будут sqrt(n) и 2/sqrt(n) соответственно.
Уже при n > 4 любая из осей меньше единицы, а значит, ни X, ни Y не могут быть больше единицы, и, значит, целочисленного решения уже не существует, и их количество E(n) равно нулю. Даже на n делить не нужно :)


Апдейт от 05 августа.
Эцнова я! Сегодня утром шёл, вспомнил задачку, подумал и понял что у меня есть маааленький такой фундаментальный косяк))
В целом я всё правильно написал, но путаница в дробях!
Оси полученного эллипса будут соответственно a = sqrt(n) и b = sqrt(n)/2.
При n стремящемся к бесконечности число целочисленных решений будет стремиться к численному выражению площади эллипса, которая равна S = Pi*a*b
Подставляя и сокращая, получаем Pi/2. Ура.

Edited at 2014-08-05 08:31 am (UTC)

Раз Вы вернулись

Ответ: бесконечность.

Общий план решения (извините. не могу так же великолепно, как Вы вставлять формулы):

1. Ограничим Кси сверху и снизу:
4 * ИНГЕГР[0; n] 1/2 * (n - x*x - 1)^(1/2) dx - 2* (n^(1/2)) -
* (n^(1/2)) + 1
<= Кси(n) <=
4 * ИНГЕГР[1; n] 1/2 * (n - x*x)^(1/2) dx - 2*(n^(1/2)-1) - (n^(1/2)-1) + 1
Поскольку Кси -- сумма целочисленного ряда (y, зависящей от x), nj его с двух сторон интегралами.
а) Первое слагаемое: все пары (х; y), без нулей в решениях, с учётом, что и х и у могут быть как положительными, так и отрицательными -- множитель 4.
б) Второе и третье слагаемые: "непарные" нули для х и у соответственно, их надо вычесть.
для каждого Х [0..

2. Возьмём интегралы. Старший (по степени n) член будет:
F(n) = 2 * (n-1)^2 * arcsin(n-1 /n) <= Кси(n) <= G(n) = 2 * n^2 * arcsin(1)

3. Возьмём предел:
Оба предела при n-> oo F(n)/n, G(n)/n берутся по правилу Лапиталя и равняются бесконечности.

4. Из 2,3 (по правилу о двух милиционерах):
lim[n->oo] Кси(n)/n = oo.

Re: Раз Вы вернулись


Блин я ещё и интеграл (от sqrt(n^2 - a^2)) неверно взял ((((((

П.С.
Новое решение (позволяющее просто ограничить фигуру двумя эллипсами и считать их эллипсов) всё равно проще.

Хотя даже Ваше старое не сложнее предложенного, ведь младшие члены откидывать "просто так" нельзя, а если их тянуть -- там довольно много формул.


  • 1
?

Log in

No account? Create an account