Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Новая задачка на выходные.
ahiin
Позапрошлую и, в особенности, прошлую задачки уважаемая публика раздербанила практически с лету.
В этот раз задние заметно посложнее.

Пусть дана матрица второго порядка (то бишь 2х2) с положительными элементами. Сумма элементов каждой строки равна 1. Более того, сумма элементов каждого стобца также равна 1.

Доказать, что предел существует и найти его.


Указание. Вы же не думаете, что я паталогический садист, предлагающий беззащитным людям итерировать степени матрицы, в робкой надежде увидеть закономерность? Хотя задача вполне может и такое решение иметь, я этим путем не ходил.


Комментарии скрыты до понедельника.

Решение.

  • 1

про строки

сбивает с толку - если только столбцы, то это понятное случайное блуждание по графу с двумя вершинами, а условие на строки делает матрицу очень конкретной и возникает желание это использовать...

С учётом наложенных ограничений матрица A может выглядеть как:
| a 1-a|
|1-a a |.
Самое простое - найти её спектральное разложение:
A=QDQ^(-1), (D - диагональная из собственных чисел А, столбцы Q - собственные вектора А). Тогда A^n=QD^(n)Q^(-1).
Собственные числа: 1 и 2a-1, вектора: {1,1} и {-1,1}. Ну а n-ая степень диагональной матрицы - диагональная с элементами, равными n-ой степени соответствующих исходных элементов. Осталось только взять предел, учитывая, что 0<a<1.

Edited at 2014-07-05 03:31 am (UTC)

так. предел существует, так как одно из собственных значений 1, а второе меньше 1. исходя из этих же значений пределом будет единичная мца.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account