Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Задачка на праздники.
ahiin
Найти решение дифференциального уравнения
png

удовлетворяющее условию


На всякий случай: многоточие в левой части уравнения понимается том смысле, что суммирование по порядкам производных продолжается до бесконечности.

Идеи и решения, как всегда, в комментарии, которые, как всегда, скрыты.
Сегодня вечером убываю в безынтернетную зону, так что ответ, решение  и раскрытие комментариев — в понедельник.

Ответ.

  • 1
Если всю сумму, начиная с у'', обозвать буквой z, то получим
1) у' + z = х
а продифференцировав исходное уравнение, получаем:
2) z =1

из 1) и 2) получается y' + 1 = x, или y = x*x/2 - x + C
А из начального условия - C = 0
То есть, ответ

y = x*x/2 - x

Примечание. Эти рассуждения могут быть некорректны, если не выставлять требование, что бесконечная сумма - сходящийся ряд (будем считать, что неявно это требование выставлено)


Разумно предположить, что y(x) - это какой-то полином. (Доказать, правда, с ходу не возьмусь.)
Судя по тому, что его производная старшего порядка линейна (x), сам он является многочленом второй степени (из условия следует, что с нулевым свободным членом).

Запишем начальное уравнение, подставив в него производные квадратичной функции с нулевым свободным членом y=ax2 + bx:

(2ax + b) + (2a + 0) = x | для любого x

Отсюда:
2ax = x => a = 1/2
(x + b) + 1 = x => b = -1

Записываем: y = x2/2 - x
Производная первого порядка y' = x - 1, второго y'' = 1. Дальше нули. x - 1 + 1 = x, как и требовало условие.

Очевидно, что среди полиномов подходит только x^2/2-x.
Интересно поискать что-то посложнее. Но это уже на бумаге надо попробовать.

x - это независимая переменная в y(x)?
Тогда y(x)=x2/2 - x
Можно получить методом пристального взгляда.
А можно отбрать одну производную от суммы, кроме первого слагаемого.
y' + (y' + y'' + ...)' = x
Подставляя выражение в скобках, получаем
y' + (x)' = x
y' = x - 1
y = x2/2 - x + C
Из начального условия С = 0.



Изящная задачка, но простая.
Интегрируем один раз получаем
у+у'+у''+... = х2/2+С
Заменяем ряд исходя из равенства.
у + х = х2/2+С
у(0)=0 значит С=0
У=х2/2-х

Берем производную от обеих частей уравнения, получаем:

y''+y'''+... = 1

Подставляем в исходное, получаем:

y'+1 = x
y' = x - 1
y = x^2/2 - x + c
y(0) = 0 => c = 0

Итого:

y = x^2/2 - x

y' = x - 1
y'' = 1
y'''=y''''=...=0

Поскольку просится найти хотя бы одно решение, то достаточно искать его в наиболее простом возможном виде у = ax^2 + bx (просто у = ax^2 не подходит). Подставляя его в диф уравнение, получаем a = 1/2 и b = -1, т.е. y = x^2/2 - x

  • 1
?

Log in

No account? Create an account