Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 2.
ahiin
Первая часть тут.

Продолжаем разговор о пространствах   1.



Прежде чем двигаться дальше, нам необходимо более детально обсудить множество   25.
Напомню, что   открытое множество.
Добавив к нему все точки прикосновения, получим его замыкание   26.
На практике, чаще всего замыкание получается, когда к множеству присоединяется его граница.
(Хотя, конечно, не всегда. Замыканием множества рациональных чисел, например, является множество вещественных (действительных) чисел. Ну и где тут граница?).

Пример 1. Интервал   37. Его замыкание   19.
Пример 2. Внутренность круга   27. Его замыкание   28.

На замкнутом множестве также вполне можно определить пространство   29.

Очевидно 30.
Упражнение (совсем несложное): докажите утверждение.

В этот момент возникает очень соблазнительное предположение, что   31, т.е. эти пространства населяют одни и те же функции.
Увы, это далеко не так.

Упражнение (несложно): на числовой прямой   39 рассмотрите функции   73  на интервале   3726, очевидно, отрезок   19. Покажите, что   33 34.

Как видим, зажигают функции, не являющиеся равномерно непрерывными на   25. Хотелось бы верить, что на этом неприятности закончатся. Однако, надежды тщетны.

Упражнение (простое): на числовой прямой   39 рассмотрите множество   40, т.е. интервал с выколотой точкой нуль 26, очевидно, отрезок   41. Постройте пример функции, такой что   33 34.

Упражнение (очень простое для тех кто справился с предыдущим): на плоскости   38рассмотрите множество   25  точек с координатами   35, таких что   36. Постройте пример функции, такой что   33 34.

Как видите, не все так просто.
В этих двух упражнениях жару поддавали области с т.н. двойной границей. К сожалению - это далеко не единственный вариант, доставляющий неприятностей.

Тема геометрии границы областей, а так же влияния этой геометрии на свойства функциональных пространств, определнных на таких областях - очень интересна и обширна. К этому вопросу мы обязательно вернемся в будущем. Здесь же, в рассказе о пространствах   1, мы ограничимся областями, в которых равномерно непрерывные функции могут быть продолжены на замыкание.
Таким свойством обладают, например, области с гладкой границей, со строго липшицевой границей и т.п.

Закрывая тему пространств   2, замечу что они обладают важнейшим свойством сепарабельности.  Тому, что это за свойство и почему оно столь важно я посвящу отдельный (следующий) пост, с разбором на примере пространства   1.

Упражнение (факультативное, сложное): используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, покажите сепарабельность пространств   2.

Переходим, наконец, к рассмотрению пространств 1.
Норма в нем задается следующим образом:
42
Спешу успокоить: на эту норму мы посмотрели, впечатлились и больше ее не увидим. Как я уже говорил и даже давал упражнение, все самое интересное происходит с производной старшего порядка. Поэтому, без потери общности, в дальнейшем будем разбираться с пространство   45. Для краткости, я его буду обозначать   44. Напомню, что   5.

Норма пространство   44 выглядит куда попроще:
43

Упражнение (простое): покажите, что если убрать член   50, то соотношение перестанет быть нормой.

Важное специальное пространство   46  иногда обозначается   47 и называется пространством Липшица.
Упражнение (элементарное): покажите, что   48 и при этом   49.

Общий случай   1  иногда называют пространтвами Гёльдера.
Также, для пространств   1  можно встретить в литературе обозначение   . Я не буду его использовать.

Свойства функций с условием Гёльдера-Липшица достаточно подробно разобраны в предыдущих публикациях. Рассмотрим теперь свойства пространств   1, как единого целого.

Пристегните ремни!

Теорема 1. Пространство   1 банахово.
Доказательство. Без ограничения общности, будем рассматривать пространство   44.
Заметим, что по определению, очевидно неравенство:
4a
Или, в нашем частном случае:
5a
Рассмотрим фундаментальную в смысле нормы   44  последовательность функций 6a.
Напомню, это означает, что для любого сколь угодно малого   7 существует такое натуральное 8, что выполняется 9 при 10.

Опираясь на это соотношение, для каждого 9a, можно записать
7a
Т.е.
8a
при 10.
Таким образом, последовательность вещественных чисел   10a является фундаментальной, а значит имеет предел, который мы обозначим 11a.
В итоге, получаем, что функциональная последовательность 6a сходится поточечно к некоторой функции 13a.
Более того, сходимость эта равномерна, и, следовательно 13a - непрерывна.

[С чего вдруг?]
Первый том Фихтенгольца в помощь!


Осталось доказать, что 52,  т.е   54 и   12 в смысле нормы 44.
Заметим, что в силу непрерывности   13a, выражение
55
имеет смысл для любых   59 60.

Покажем сначала, что   54.
Фиксируем некоторое   7, тогда в силу равномерной сходимости найдется такое   56, что для любого   61, верно
57
Отсюда справедливо:
62

Наконец:
58.

Теперь нужно немного расслабиться. Дышим глубоко и ровно, глубоко и ровно!

Отдышавшись, продолжаем:
для любого 60.

(Внимание! Тонкий маневр.)
Последнее соотношение означает, в силу фундаментальность   6a 44, возможность указать для нашего фиксированного   7, такое натуральное   56, что
64

Едем дальше:
66

67

Отсюда, наконец:
70
Выберем такое   56, чтобы выполнялись одновременно оба неравенства:
58

70
и почленно просуммируем:
71
72

Смахнем трудовой пот со лба: доказано, что   54. Таким образом   52.

Осталось недолго. Терпеть!

Выберем   56, чтобы для любых   60 и  61 одновременно выполнялись условия:


57

64

Отсюда, беря супремум и почленно складывая:

14a

Иными словами:
15a

Итак, нами показано, что   52 12 в смысле нормы   44.
Теорема доказана.

В следующей серии:

Обсуждение вопроса, чего ради были эти мучения - почему так важна полнота (банаховость) пространства.

Аппроксимация функций с условием Липшица-Гёльдера кусочно-линейными функциями и погрешность такой аппроксимации.

Сепарабельность нормированного пространства: что это и зачем.
Исследование сепарабельности пространства   1.

Продолжение.



  • 1
это прекрасно!! все серии сериала замечательно, легко написаны и увлекательны. цсапибо-спасибо:) обещалось что-то про теорему Радемахера? может быть и пространств Соболева с дробным показателем коснётесь? потому что там норма очень связана с гёльдеровой нормой

Будет теорема Радемахера, попозже.
И теорема Шаудера.
И пространства Соболева будут. И пространства Бесова.
Собственно, ради них все затевалось, это пока вводные главы.
К сожалению, я пока бешено загружен, еще минимум неделю, а такие вещи надо писать в удовольствие, без суеты. Но все будет.

буду ждать с нетерпением. Вы где-то в комментариях написали, что творите по мотивам какой-то книжки? Что это за книжка, если не секрет? Разумеется, это не угасит интереса читателей к Вашим опусам, даже не сомневайтесь ;)

Это не совсем так. Скорее в процессе перечитывания возникают разные параллельные идеи и мысли, некоторые из которых я решил закинуть в жж.
А книжка, чтож:
О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский "Интегральные представления функций и теоремы вложения".
Олег Владимирович мне ее когда-то и подарил:)

  • 1
?

Log in

No account? Create an account