Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Задачка на выходные.
ahiin
Формально задача не школьного уровня, так как в (обычной) школе матрицы не изучаются, однако для ее решения достаточно первого семестра любого, самого затрапезного, "курса высшей математики" за плечами.

Квадратная матрица порядка с элементами называется антисимметрической, если .
Докажите, что определитель антисимметрической матрицы нечетного порядка всегда равен 0.

[Указание.]
Для решения задачи более чем достаточно свойств определителей, перечисленных здесь.


Высказывайте ваши соображения.
Комментарии скринятся.

Подробное решение - в понедельник.
Решение.

  • 1
Ну так давайте её транспонируем, всё и вылезет!
что-то я поторопился. надо подумать.

Edited at 2014-05-30 12:45 pm (UTC)

Раскрываем определитель (явно можно не выписывать, достаточно того, что запись в виде суммы произведений с соответствующими знаками существует). В каждом члене нечётное число множителей. Переставляем во всех множителях индексы. Получаем тот же определитель. Одновременно получаем, что знак должен измениться. Равен минус себе только нуль.

По определению определитель есть сумма некоторых членов для всех возможных перестановок. Легко видеть, что члены для взамнообратных перестановок сократиться.

Чета чувствую себя тупым и не могу найти подвох.
Это ж для любой антисимметричной будет, причем тут нечетный порядок?

Для любой антисимметричной матрицы ее транспонирование равнозначно умножению на -1:
At = -1*A

Определитель транспонированной матрицы равен определителю матрицы
det A = det At

Определитель матрицы умноженной на скаляр равен определителю умноженному на скаляр
det aA = a det A

Соответственно
det A = det At = det (-1*A) = -det A
=> det A = 0

(=> как частный случай, для любой асимметричной матрицы нечетного порядка определитель тоже ноль)

Почти правильно, но в предпоследней строке ошибка. (решение выложил)

  • 1
?

Log in

No account? Create an account