Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости. Часть 1.
ahiin
Сегодня я хочу начать рассказ о пространствах функций .
Такие пространства естественным образом возникают как обобщение обычных  - пространств непрерывных и n-раз непрерывно дифференцируемых функций.
По-сути, на последнюю, n-ю производную, дополнительно накладывается условие Гёльдера-Липшица с некоторым показателем   

Что это за условие такое и с чем его едят я подробно расписал в прошлый раз.
Часть 1.
Часть 2.
Тем, кто не читал - настоятельно рекомендую ознакомиться.

Разумеется,  

[ААА! Что это было? Почему разумеется???]
Операции над множествами.


К сожалению, в этот раз в рамках элементарного курса высшей математики мне удержаться не удалось.
Несмотря на то, что я буду стараться давать необходимые пояснения, очень желательно наличие хотя бы минимальных знаний из функционального анализа. Если под спойлерами в тексте систематически попадается новая и неожиданная информация, то у меня плохие новости: желательно припасть к какому-нибудь классическому учебнику.
("Функциональный анализ" В. А. Треногина более чем достаточен, но!,
конечно, наилучший вариант  - это  книга 
"Элементы теории функций и функционального анализа" за авторством А.Н. Колмогорова и С.В. Фомина).

Для начала рассмотрим общеизвестное линейное пространство непрерывных функций , заданных на открытом множестве .

[Определение линейного пространства.]

Непустое множество ~L называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

  • Для любых двух элементов x, y \in L однозначно определён элемент z \in L, который называется суммой этих элементов и обозначается ~x + y, причём
    1. Коммутативность: ~x + y = y + x,
    2. Ассоциативность: ~(x + y) + z = x + (y + z),
    3. Существование нуля: существует такой элемент 0 \in L, что \forall x \in L:x + 0 = x ,
    4. Существование противоположного элемента: для каждого x \in L существует такой ~-x \in L, что ~x + (-x) = 0.
  • Для любого числа \alpha и любого элемента x \in L определён элемент \alpha x \in L (произведение элемента на число), причём
    1. ~\alpha (\beta x) = (\alpha \beta)x,
    2. 1 \cdot x = x,
    3. ~(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x,
    4. ~\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y.

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Цитирую Викиучебник, так как автор аналогичной статьи в Википедии, очевидно, не желал, чтобы его поняли.


Обычные операции сложения и умножения, применяемые к непрерывным функциям в каждой точке множества, очевидно, удовлетворяют аксиомам линейного пространства.

Пространство   нормировано:
Здесь
,

и - мультииндекс.

[Определение нормированного пространства.]Будем рассматривать некоторое линейное пространство ~L.

Нормой называют функционал p, определённый на ~L и удовлетворяющий следующим аксиомам:

  1. ~p(x) \ge 0,
  2. p(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,
  3. ~p(x + y) \le p(x) + p(y) (аксиома треугольника),
  4. ~ p(a x) = | a | p(x) для любого числа ~a (абсолютная однородность).

Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём нормой.

Норму элемента линейного пространства x \in L обозначают \left\Vert x \right\|.

Опять Викиучебник, на Википедию даже ссылку давать не буду, ищите и читайте сами, ежели психику не жалко.


Упражнение(очень простое): докажите выполнение аксиом нормированного пространства для введенной нормы.

Пространство полно в смысле данной нормы, то есть является банаховым.
(Термины "полное по норме пространство" и "банахово пространство" - синонимы.)


[Определение фундаментальной последовательности.]
Последовательность 5 элементов нормированного пространства 6 называется фундаментальной (либо последовательностью Коши, либо последовательностью, сходящейся в себе) в смысле нормы данного пространства, если для любого 7 найдется такое натуральное 8, что условие 15 выполняется при 10.

Упражнение (средней сложности): покажите, что последовательность 11 не является фундаментальной в пространстве 12.



[Опредление банахова пространства.]
Нормированное пространство называется банаховым (полным по норме), если для всякой  фундаментальной последовательности можно найти такой элемент 17, называемый ее пределом, что выполняется условие: 13 найдется натуральное 8, такое что условие 14 выполняется при любых 16.

[Для желающих копнуть чуть глубже.]
Рассмотрим линейное пространство непрерывных функций на отрезке 19.
Введем теперь на нем другую норму, так называемую норму 18:
20
Упражнение (несложное): покажите, что аксиомы нормы выполняются.

Эта норма ведет себя с непрерывными функциями далеко не деликатно.

Упражнение (средней сложности): покажите, что упомянутая последовательность
11 фундаментальна в 21. Найдите ее поточечный предел. Убедитесь, что он не является непрерывной функцией.

Таким образом, линейное пространство непрерывных функций с нормой 18 не является полным (банаховым).
Специальным образом его можно пополнить до банахова.
В результате получится пространство интегрируемых с квадратом (по Лебегу) функций. Это пространство играет исключительно важную роль в анализе. Мы с ним обязательно встретимся в будущем.




Доказывать полноту я сейчас не буду, это можно сразу сделать для более сложного случая .
Упражнение (факультативное, сложное): докажите полноту .

Хочу заметить, что все самое интересное творится в пространстве 
22. Как известно из математического анализа, первообразная функции определяется с точностью до константы, т.е. если мы знаем производную функции, то, по сути, знаем о функции почти все.

Упражнение (средней сложности): покажите, что если производные функции принадлежат пространству 
22 (или, для краткости 23), то сама функция принадлежит пространству 24. По индукции, обобщите результат на 2.

Продолжение.




?

Log in

No account? Create an account