Популярно о науке

Previous Entry Share Next Entry
Условие Гёльдера-Липшица и его геометрический смысл. Часть 2.
ahiin
Первая часть.

Напомню, мы разбираемся со свойствами функций 2, заданных на некотором множестве 1 , таких, что для любых 3 и некоторых констант 5 и 2a выполняется неравенство:


4.

Важный специальный случай 6 разобран в прошлый раз,  пусть теперь 7.

Здесь и далее все рассуждения я буду иллюстрировать на примере функции одной переменной, давая, при необходимости пояснения для многих переменных.

Аналогично прошлой части, рассмотрим значение функции 10.  Посмотрите на картинку:
fig21
Окрашеная область отмечает область допустимых значений для функции, удовлетворяющей условию Гёльдера при 3.
При выполнении условия Гёльдера функция изменяется по модулю не быстрее, чем 4. График функции не может покинуть закрашенной области.

Аналогично условию Липшица видно, что на любом ограниченном интервале (а равно и отрезке, и области, и компакте) функция, удовлетворяющая условию Гёльдера - ограничена.
Упражнение (очень простое): используя определение, аналитически покажите ограниченность функции с условием Гёльдера.
Упражнение (совсем простое): используя определение, покажите, что функция 5 удовлетворяет некоторому условию Гёльдера.

Снова, по аналогии с первой частью, рассмотрим картинку:
fig22
Функция с наложенным условием Гёльдера целиком поместится в зеленой фигуре, 3.
Аналогичную фигуру можно построить для любой пары сколь угодно близких точек (пример показан на рисунке красным). Аналогично условию Липшица, совершенно несложно аналитически показать, что функция с условием Гёльдера непрерывна (и равномерно непрерывна).
Обратное неверно.

Упражнение (очень простое): используя определение, покажите, что условие Гёльдера не выполняется для функции 6.

Упражнение (очень простое): покажите равномерную непрерывность функции с условием Гёльдера.

Перепишем условие Гёльдера в ином виде:
7

Как видим, об ограниченности левой части неравенства уже речи не идет, лучшее на что мы можем расчитывать - это то, что ее рост ограничен некоторой асимптотикой.

С геометрической точки зрения, это означает, что угловой коэффициент хорд, соединяющих какие-либо две точки графика может расти неограниченно при сближени этих точек друг к другу.
Сие громоздкое выражение станет, надеюсь, понятнее после просмотра очередного рисунка.
fig23
Здесь изображен график функции 8и парочка хорд. Проблема гнездится в точке 9 Обратите внимание, правая и левая ветви графика сходятся в ней под нулевым углом. Подобные точки у функции называют иногда точками заострения (или же точками возврата). Представьте, что мы пытаемя решать краевую задачу для некоторого уравнения в частных производных в некоторой области. Если у кривой (или поверхности, или гиперповерхности), ограничивающей область, есть такие точки - с решением краевой задачи начинают твориться всевозможнейшие непотребства. Про это дело написано немало толстых книжек, и не сказать бы, что тема закрыта.

Давайте рассмотрим еще один интересный вопрос. Верно ли, что если функция удовлетворяет условию Гёльдера-Липшица с показателем 5, то она удовлетворяет условию Гёльдера для любого показателя
25

Теорема: Ответ ДА, если область определния 1 ограничена.
Упражнение (простое): докажите теорему.
Отсюда, кстати, вытекает, что подавляющая часть элементарных функций удовлетворяет условию Гёльдера на любом ограниченном отрезке с тем или иным показателем.

Таким образом, в ограниченных областях мы имеем простую зависимость: чем меньше показатель Гёльдера - тем слабее ограничение на функцию.
Как всегда, масла в огонь подливают неограниченные области. В этом случае условия Гёльдера-Липшица с разными показателями создают независимые множества функций, ни одно из которых не является подмножеством другого.

Причину этой неприятности раскрывает слеюдующая
Теорема: пусть заданы функции 12
Тогда:
1. Существует такое достаточно малая 13 что 14
2. Существует такая достаточно большая 16 что 15
Упражнение (чуть сложнее, чем простое): докажите утверждение.

Конечно, тем или иным способом данное затруднение можно обойти.
Для нас важнее другое: стоить запомнить, что если область неограничена - жди беды!

Упражнение (элементарное для тех, кто справился с аналогичным в предыдущей части): пусть даны две функции equation.render , удовлетворяющие условию Гёльдера и некоторая константа 3a. Используя определение, покажите, что нижеследующие функции также являются гёльдеровыми. Рассмотрите отдельно случаи, когда показатель Гельдера у обоих функций одинаков и когда показатели разные.
1. 4a.
2. 5a.
3. 6a.
4. 7a.
5.
ops1

Напоследок, давайте посмотрим, что происходит вне диапазона 5.
1.

Рассмотрим соотношения:
18
Переходя к пределу при 19, получим
20

Таким образом, наша функция является банальной константой. Стоило вводить ограничение, ради того чтоб получить такие скучные функции!

2. 21
Сразу получается, что
22
Т.е. опять ничего интересного - этому условию удовлетворяют все ограниченные функции. Ни о какой непрерывности уже речи не идет.

3. 23
Здесь уже совсем все плохо:
24

Нет даже ограниченности.
Не то чтобы такие функции не имеют права на существование, однако инструменты для работы с ними нужны иные, а условие Гёльдера-Липшица, как некий продвинутый показатель гладкости функции, теряет смысл.

Продолжение. Пространства Гёльдера-Липшица.




  • 1
Спасибо за статью!
У меня к Вам вопрос: "сильнее" условие Липшица или Гёльдера?
Могу ли я в доказательстве теоремы Коши(о единственности решения ОДУ) каким-либо образом заменить условие Липшица на условие Гёльдера?

Условие Липшица более строгое. Ежели вам и удастся заменить его на условие Гельдера - это уже будет другая теорема. Механически подставить нельзя.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account